اختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما

هذا المقال يتعلق باختبار لوكاس-ليهمر الذي ينطبق على أعداد ميرسين فقط. من أجل اختبار لوكاس-ليهمر الذي ينطبق على عدد طبيعي ما أيا كان، المرجو النظر إلى اختبار لوكاس لأولية عدد ما. من أجل اختبار لوكاس-ليهمر-غيزل، المرجو النظر إلى اختبار لوكاس-ليهمر-غيزل.

في الرياضيات، اختبار لوكاس ليهمر هو اختبار أولية أعداد ميرسين.[1] اخترع هذا الاختبار من طرف إدوارد لوكاس عام 1856، فطوره لوكاس نفسه عام 1878، كما طوره أيضا ديريك هنري ليهمر في ثلاثينات القرن العشرين.

الاختبار

يعمل اختبار لوكاس-ليهمر كما يلي. ليكن Mp = 2p − 1 عدد ميرسن حيث p عدد أولي فردي. لنعرف المتتالية {si} كما يلي حيث i عدد طبيعي أكبر من الصفر:

si={4i=0;si122

الحدود الأولى القليلة من هذه المتتالية هن 4، 14، 194، 37634، ...(انظر إلى موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت). يكون العدد Mp أوليا إذا وفقط إذا توفر ما يلي :

sp20(modMp)

يسمى العدد sp − 2 mod Mp باقي لوكاس-ليهمر للعدد p.

أمثلة

عدد ميرسن M3 = 23−1 = 7 أولي. اختبار لوكاس-ليهمر يتحقق من ذلك كما يلي. بدايةً، تُعطى القيمة 4 للمتغير s. وبعد ذلك تُغير قيمته. 3−2 = 1 مرةً:

  • s ← ((4 × 4) − 2) mod 7 = 0.

بما أن القيمة النهائية ل s هي الصفر، فإن الاستنتاج هو أن M3 أولي.

من ناحية أخرى، M11 = 2047 = 23 × 89 عدد غير أولي. مجددا، تُعطى القيمة أربعة ل s. ولكن قيمته تُبدل 11−2 = 9 مرةً :

  • s ← ((4 × 4) − 2) mod 2047 = 14
  • s ← ((14 × 14) − 2) mod 2047 = 194
  • s ← ((194 × 194) − 2) mod 2047 = 788
  • s ← ((788 × 788) − 2) mod 2047 = 701
  • s ← ((701 × 701) − 2) mod 2047 = 119
  • s ← ((119 × 119) − 2) mod 2047 = 1877
  • s ← ((1877 × 1877) − 2) mod 2047 = 240
  • s ← ((240 × 240) − 2) mod 2047 = 282
  • s ← ((282 × 282) − 2) mod 2047 = 1736

بما أن القيمة النهائية ل s لا تساوي الصفر، الاستنتاج هو M11 = 2047 عدد ليس بأولي. رغم أن M11 = 2047 لا يملك معاملات بديهية، اختبار لوكاس-ليهمر لا يعطي أي إشارة إلى قيمة هذه العوامل.

البرهان على الصحة

برهان الصحة المقدم هنا أبسط من البرهان الأصلي الذي جاء به ليهمر. تذكر التعريف

si={4i=0;si122

الهدف هو البرهان على أن Mp أولي إذا وفقط إذا توفر sp20(modMp).

المتتالية si معرفة بعلاقة استدعاء ذاتي يمكن تعريفها بتعبير منغلق الشكل. ليكن ω=2+3 و ω¯=23. يأتي من ذلك باستعمال البرهان بالترجح ما يلي: أن si=ω2i+ω¯2i لجميع قيم i:

s0=ω20+ω¯20=(2+3)+(23)=4

و

sn=sn122=(ω2n1+ω¯2n1)22=ω2n+ω¯2n+2(ωω¯)2n12=ω2n+ω¯2n.

المرحلة الأخيرة تستعمل ωω¯=(2+3)(23)=1. هذه الصيغة المغلقة مستعملة في كل من البرهان على كونه كافيا وفي البرهان على كونه ضروريا.

كونه كافيا

الهدف هو البرهان على أن sp20(modMp) تؤدي إلى Mp أوليا. فيما يلي برهان يستعمل نظرية الزمر الابتدائية، جاء به J. W. Bruce[2] كما شهد بذلك Jason Wojciechowski.[3]

افترض أن sp20(modMp). إذن،

ω2p2+ω¯2p2=kMp

حيث k عدد صحيح ما. إذن،

ω2p2=kMpω¯2p2.

ضرب الحدين في ω2p2 يعطي :

(ω2p2)2=kMpω2p2(ωω¯)2p2.

إذن،

ω2p1=kMpω2p21.(1)

من أجل الوصول إلى تناقض، , يفترض أن Mp هو عدد مركب (أي غير أولي), وليكن q أصغر القواسم الأولية ل Mp. أعداد ميرسن فردية , إذن، q > 2. ,[note 1] لتكن Zq مجموعة الأعداد الصحيحة بتردد q, لتكن X={a+b3a,bZq}. الضرب في X معرف كما يلي

(a+3b)(c+3d)=[(ac+3bd)modq]+3[(ad+bc)modq].

يبدو بشكل واضح أن عملية الضرب مغلقة، أي أن جداء عددين ينتميان إلى المجموعة X هو بذاته ينتمي إلى X. يرمز إلى عدد عناصر المجموعة X ب |X|.

بما أن q > 2, فإن ω و ω¯ هي في X.[note 2] المجموعة الجزئية من X المكونة من العناصر التي تملك عنصرا معاكسا، تكون زمرة، يرمز إليها ب X*، ويرمز إلى عدد عناصرها ب |X*|.

عنصر من X والذي لا يملك عنصرا معاكسا هو 0, إذن، |X*||X|1=q21.

حاليا Mp0(modq) and ωX, إذن،

kMpω2p2=0

in X. إذن، من خلال المعادلة (1),

ω2p1=1

في X, رفع كلا الحدين إلى المربع يعطي ما يلي:

ω2p=1.

إذن، ω هو موجود في X* وله عنصر معاكس ω2p1. أضف إلى ذلك, the رتبة of ω يقسم 2p. ولكن ω2p11, إذن، الرتبة لا تقسم 2p1. إذن، الرتبة هي بالتحديد 2p.

رتبة عنصر في زمرة تساوي على الأكثر عدد عانصر تلك الزمرة. إذن،

2p|X*|q21<q2.

ولكن q هو أصغر عامل أولي من بين الأعداد الأولية اللائي يشكلن تفكيك Mp إلى جداء عوامل أولية. إذن،

q2Mp=2p1.

هذا يؤدي إلى التناقض 2p<2p1. إذن, Mp أولي.

كونه ضروريا

تطبيقات

يستعمل اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت من أجل البحث عن الأعداد الأولية الكبيرة. انظر إلى أعداد فيرما.

انظر أيضا

ملاحظات

  1. ^ Formally, لتكن Zq=Z/qZ and X=Zq[T]/T23.
  2. ^ Formally, ω+T23 and ω¯+T23 are in X. By abuse of language ω and ω¯ are identified with their images in X under the natural ring homomorphism from Z[3] to X which sends 3 to T.

مراجع

  1. ^ "معلومات عن اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-07-16.
  2. ^ Bruce، J. W. (1993). "A Really Trivial Proof of the Lucas–Lehmer Test". The American Mathematical Monthly. ج. 100 ع. 4: 370–371. DOI:10.2307/2324959.
  3. ^ Jason Wojciechowski. Mersenne Primes, An Introduction and Overview. 2003.


وصلات خارجية