معيار المصفوفة

في الرياضيات، معيار المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix norm)‏ هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات.

تعريف

في ما يلي: الرمز $K$ سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. نفرض أن $K^{m \times n}$ يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات $m$ صف و $n$ عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال $K$ ، أيضًا $A^{*}$ هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة $A$ .

معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى $K^{m \times n}$ بحيث إذا كانت $| A |$ تمثل معيار المصفوفة $A$ فإن:

$| A | \geq 0$
$| A | = 0$ إذا كان $A = 0$
$| α A | = | α | | A |$ لكل $α$ في $K$ لكل المصفوفات $A$ تنتمي إلى $K^{m \times n}$
$| A + B | \leq | A | + | B |$ لكل المصفوفات $A$ و $B$ في $K^{m \times n}$

بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة m = n فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:

إذا كان معيار المتجه في $K^{n}$ و $K^{m}$ معطي (حيث $K$ هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:

\begin{array}{r} | A | & = sup {| A x | : x \in K^{n} with | x | = 1} \\ = sup {\frac{| A x |}{| x |} : x \in K^{n} with x \neq 0} \end{array}

ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب $| A |_{p}$ ) كما يلي:

| A |_{p} = sup \limits_{x \neq 0} \frac{| A x |_{p}}{| x |_{p}}

حيث p ≥ 1

هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:

$| A |_{1} = {max}_{1 \leq j \leq n} \sum_{i = 1}^{m} | a_{i j} |$ وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
$| A |_{\infty} = {max}_{1 \leq i \leq m} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i j} |$ وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
$| A |_{2} \leq {(\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i j} |^{2})}^{1 / 2}$ هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة $A$ من الدرجة -1 أو صفرية.

مثال:

A = [\begin{matrix} - 3 & 5 & 7 \\ 2 & 6 & 4 \\ 0 & 2 & 8 \end{matrix}],

فإن

| A |_{1} = max (| - 3 | + 2 + 0, 5 + 6 + 2, 7 + 4 + 8) = max (5, 13, 19) = 19

و

| A |_{\infty} = max (| - 3 | + 5 + 7, 2 + 6 + 4, 0 + 2 + 8) = max (15, 12, 10) = 15 .

عند p = 2 فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي (بالإنجليزية: Euclidean norm)‏ وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةA^∗A :

| A |_{2} = \sqrt{λ_{max} (A^{*} A)} = σ_{max} (A)

^[1]

^ Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, §5.2, p.281, Society for Industrial & Applied Mathematics, June 2000.

معيار المصفوفة في المشاريع الشقيقة: