تضامنًا مع حق الشعب الفلسطيني |
قوانين مساحة المثلث
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. (مارس 2016) |
في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:
المساحة = ½×طول القاعدة × الارتفاع
يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث ويقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.
لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،
و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث وعرضه ارتفاع المثلث.
و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.
قوانين المساحة للمثلث
القانون الأول
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Sine_law.png/300px-Sine_law.png)
يربط بين مساحة المثلث وبين جيب إحدى زواياه.
في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.
المثلث ANC مثلث قائم في N:
(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)
القانون الثاني
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Circumcentre.svg/300px-Circumcentre.svg.png)
يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.
البرهان:
باستخدام قانون الجيوب:
القانون الثالث
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AD%D9%8A%D8%B7%D8%A9.png/300px-%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AD%D9%8A%D8%B7%D8%A9.png)
يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.
البرهان:
P مركز الدائرة الداخلية للمثلث
باستخدام «المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع» ثلاث مرات:
القانون الرابع
يعرف بصيغة هيرو:
باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:
حيث أن s نصف محيط المثلث.
القانون الخامس
يعرف بصيغة جيوشاو:
القانون السادس
مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة: المساحة = (1 / 4) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]