يفتقر محتوى هذه المقالة إلى مصادر موثوقة.

قوانين مساحة المثلث

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الهندسة الرياضية، تعطى مساحة المثلث بالقانون:

المساحة = ½×طول القاعدة × الارتفاع

يقصد بالقاعدة أحد أضلاع المثلث ويقصد بالارتفاع العمود النازل من الرأس على القاعدة أو على امتدادها.

لاثبات ما سبق يحول المثلث إلى متوازي أضلاع مساحته ضعف مساحة المثلث،

و بعدها يحول إلى مستطيل طوله قاعدة المثلث وعرضه ارتفاع المثلث.

حساب مساحة المثلث هندسيا

و من هذا القانون تستنتج قوانين مساحة المثلث الأخرى.

قوانين المساحة للمثلث

القانون الأول

المثلث ABC.

يربط بين مساحة المثلث وبين جيب إحدى زواياه.

AreaABC=12absinC_

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

SinC=ANb

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

AN=bsinC

AreaABC=12a.AN=12absinC

القانون الثاني

دائرة محيطة بالمثلث

يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

AreaABC=abc4R_

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

csinC=2R

sinC=c2R

AreaABC=12absinC=abc4R

القانون الثالث

دائرة داخلية في المثلث ABC

يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

AreaABC=rs_

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

AreaABC=AreaBPC+AreaAPC+AreaAPB

باستخدام «المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع» ثلاث مرات:

AreaABC=12ar+12br+12cr

AreaABC=ra+b+c2=rs

القانون الرابع

يعرف بصيغة هيرو:

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:

AreaABC=s(sa)(sb)(sc)_

حيث أن s نصف محيط المثلث.

القانون الخامس

يعرف بصيغة جيوشاو:

AreaABC=12a2c2(a2+c2b22)2_

القانون السادس

مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة: المساحة = (1 / 4) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]

اقرأ أيضاً