متطابقات هامة

الحل الهندسي للمتطابقة الهامة $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

في الرياضيات، يطلق اسم المتطابقات الهامة أو المتطابقات الشهيرة أو المتساويات الهامة على بعض المتساويات التي تطبق على أعداد أو حدوديات. و هي تساعد على تسريع عمليات الحساب، تبسيط بعض الكتابات الجبرية، وكذا تحديد العوامل. تساعد المتطابقات الهامة كذلك في حل معادلة من الدرجة الثانية و إيجاد حلول المعادلات. بينت معظم هذه المتطابقات الهامة بالحلول الهندسية ثم عوضت بقيم قوة أكبر عن طريق حسابات جبرية.

متطابقات هامة من الدرجة الثانية

في هذا القسم بأكمله، a و b عددان حقيقيان، أو عددان عقديان. هذه المتطابقات الهامة صحيحة في حلقة تبادلية، حيث a و b متبادلان.

خاصيات

المتطابقات الهامة من الدرجة الثانية هي:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

المتطابقة الهامة الثانية يمكن أخذها حالة خاصة من المتطابقة الهامة الأولى، مع اعتبار، أنه تم تعويض (b) بـ (b–) في المتساوية الأولى. حسب القاعدة نستنج الخاصية التالية:

تعريف جداء هام: تسمى التعابير الثلاثة التالية جداء هاما $(a+b{)}^2\text{;}(a-b{)}^2\text{;}(a-b)(a+b).$

—

و نستنتج أيضا :

تعريف مجموع هام: تسمى التعابير الثلاثة التالية مجموعا هاما $a^2+2ab+b^2;a^2-2ab+b^2;a^2-b^2.$

—

أمثلة

النشر والتعميل

تساعد المتطابقات الهامة على تحويل كتابات بعض التعابير الجبرية، كما في المثال التالي:

$A=(2x-3{)}^2+(x+5)(3-x).$

التعبير A هو مجموع عمليتين جبريتين. العملية الأولى تعتبر جداء هاما، يمكن تحويلها إلى جمع:

$(2x-3{)}^2=(2x{)}^2-2\times 2x\times 3+3^2=4x^2-12x+9\text{;}A=4x^2-12x+9+(x+5)(3-x).$

يعتمد حل المقطع الثاني على عملية النشر:

$(x+5)(3-x)=x(3-x)+5(3-x)=3x-x^2+15-5x=-x^2-2x+15.$

بجمع العمليتين نحصل على النتيجة

$A=4x^2-12x+9-x^2-2x+15=3x^2-14x+24.$

المعادلات من الدرجة الثانية

المقالة الرئيسية: معادلة من الدرجة الثانية

تمكن المتطابقات الهامة من حل معادلات من الدرجة الثانية. نعتبر المثال التالي:

$x^2+2x-5=0.$

لحل المعادلة نقوم بحل الجانب الذي لا يحتوي على مجاهيل وذلك باستخراج عدد آخر.

$x^2+2x-5=x^2+2x+1-6.$

الأعداد الثلاثة الأولى الآن تشكل مجموعا هاما، يمكن تطبيق المتطابقة الهامة بحيث تصبح المعادلة على شكل:

$x^2+2x-5=(x+1{)}^2-6=(x+1{)}^2-(\sqrt{6}{)}^2=0.$

نستنتج الآن مجموعا هاما جديدا بحيث تكتب المعادلة على شكل:

$x^2+2x-5=(x+1+\sqrt{6})(x+1-\sqrt{6})=0.$

الجداء a.b لعددين a و b يكون منعدما إذا وفقط إذا كان a أو b منعدما. . حل المعادلة يؤول إلى حل معادلتين من الدرجة الأولى:

$(1)x+1+\sqrt{6}=0\text{;}(2)x+1-\sqrt{6}=0.$

نجد حلي المعادلة، التي تسمى أيضا جذر الحدودية:

$x_1=-1-\sqrt{6}\text{;}{x}_2=-1+\sqrt{6}.$

متعددات حدود مرفوعة إلى الدرجة الثانية

خاصية: لرفع حدودية ذات حدود متعددة إلى الدرجة الثانية، فقط يتم جمع مربع كل حد في الحدودية مع ضعف مجموع الجداءات الممكنة بين الحدود

—مثال: $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc),$ $(a+b+c+d{)}^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).$

متطابقات هامة متنوعة

متطابقة أويلر للمربعات الأربعة

متطابقة المربعات الأربعة لأويلر تصل بينها ثمانية أعداد وتأخذ الشكل التالي:

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)$

$=(a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_4-a_4{b}_3{)}^2$

$+(a_1{b}_3-a_2{b}_4+a_3{b}_1+a_4{b}_2{)}^2+(a_1{b}_4+a_2{b}_3-a_3{b}_2+a_4{b}_1{)}^2.$

متطابقة صوفي جيرمين

متطابقة صوفي جرمين تنص على أن لكل عدد x و y، لدينا:

$x^4+4y^4=(x^2+2y^2{)}^2-4x^2{y}^2=(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)=((x+y{)}^2+y^2)((x-y{)}^2+y^2).$

متطابقة جون روبرت أرغاند

$(x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1.$

متطابقة كارل فريدريك غوس

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(a-c{)}^2].$

متطابقات أدريان لوجاندر

$(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2(a^2+b^2),$

$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab,$

$(a+b{)}^4-(a-b{)}^4=8ab(a^2+b^2).$

متطابقات جوزيف لاغرانج

$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by{)}^2+(ay-bx{)}^2,$

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz{)}^2+(ay-bx{)}^2+(az-cx{)}^2+(bz-cy{)}^2.$

متطابقة هامة من الدرجة n

نظرية ذات الحدين لنيوتن

المقالة الرئيسية: نظرية ذات الحدين

نفس التقنية المتبعة في المتطابقة الهامة ذات الدرجة 2. ليكن a و b عددين حقيقيين:

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3;$

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3.$

بطريقة أخرى:

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4;$

$(a-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4.$

بنفس الطريقة:

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5;$

$(a-b{)}^5=a^5-5a^{4}b+10a^3{b}^2-10a^2{b}^3+5a{b}^4-b^5.$

كذلك يمكن جعلها على أي درجة n باستعمالنظرية ذات الحدين أو نظرية حد الكرخي — نيوتن

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k.$

معاملات التعبير المعتبر كحدودية في x و في y تدعى معاملات ثنائية. حتى وإن كان y عددا سالبا، فإنه نحصل على نفس التعابير أعلاه.

أمثلة أخرى

متطابقات هامة من الدرجة الثانية

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

متطابقات هامة من الدرجة الثالثة

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

متطابقات هامة من الدرجة الرابعة

$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

$(a-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4$

متطابقات هامة من الدرجة الخامسة

$(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

$(a-b{)}^5=a^5-5a^{4}b+10a^3{b}^2-10a^2{b}^3+5a{b}^4-b^5$

$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^{3}b+a^2{b}^2-a{b}^3+b^4)$

$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4)$

متطابقات هامة من الدرجة السادسة

$a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2{b}^2+b^4)$

$a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

متطابقات هامة من الدرجة السابعة

$a^7+b^7=(a+b)(a^6-a{b}^5+a^2{b}^4-a^3{b}^3+a^4{b}^2-a^{5}b+b^6)$

$a^7-b^7=(a-b)(a^6+a{b}^5+a^2{b}^4+a^3{b}^3+a^4{b}^2+a^{5}b+b^6)$