مبرهنة ليندمان-فايرشتراس

  هذه المقالة عن مبرهنة ليندمان فايرستراس. لمعانٍ أخرى، طالع مبرهنة فايرستراس (توضيح).

في الرياضيات، مبرهنة ليندمان-فايرشتراس (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem)‏ هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.

البرهان

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة $c_0,c_1,\dots ,c_n$ التي تحقق المعادلة:

$c_0+c_{1}e+c_2{e}^2+\cdots +c_n{e}^n=0$

بحيث يكون كلا العددان $c_0$ و$c_n$ مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$، في حين سنستعمل الترميز التالي $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ كاختصار للتكامل:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^k[(x-1)(x-2)\cdots (x-n){]}^{k+1}{e}^{-x}dx$.

سنصل إلى المعادلة:

$c_0\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}+c_{1}e\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}+\cdots +c_n{e}^n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}=0$

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

$P_1+P_2=0$

حيث

$P_1=c_0\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}+c_{1}e\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}+c_2{e}^2\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}+\cdots +c_n{e}^n\underset{n}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$

$P_2=c_{1}e\underset{0}{\overset{1}{\int }}+c_2{e}^2\underset{0}{\overset{2}{\int }}+\cdots +c_n{e}^n\underset{0}{\overset{n}{\int }}$

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :$\frac{P_1}{k!}$ هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد $\frac{P_2}{k!}$ ليس كذلك.

والسبب في أن $\frac{P_1}{k!}$ عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^j{e}^{-x}dx=j!$

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

$\left|\frac{P_2}{k!}\right|<1$ من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن $x^k[(x-1)(x-2)\cdots (x-n){]}^{k+1}{e}^{-x}$ هو جداء الدوال $[x(x-1)(x-2)\cdots (x-n){]}^k$ و$(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}$. وباستعمال المحد العلوي لـ $|x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|$ و$|(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|$ على المجال $[n,0]$ وبما أن:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{G^k}{k!}=0$ لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.