مبرهنة فيرما (للنقاط القصوى)

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في حساب التفاضل والتكامل، مبرهنة فيرما تنص على انه إذا كانت دالّة قابلة للاشتقاق في نقطة معيّنة، وفي نفس هذه النقطة توجد للدالة نقطة قصوى (نهاية عظمى أو صغرى)، فإن قيمة المشتقة في هذه النقطة صفر.[1][2] بكلمات أخرى، يكون مماس الدالة في هذه النقطة موازيًا للمحور الافقي. هذه ليست المبرهنة الشهيرة والمعروفة لفيرما (المبرهنة الاخيرة لفيرما).

تحذير

يجب الانتباه إلى ان مبرهنة فيرما لا تنص على انه إذا كانت قيمة المشتقة صفرا في نقطة داخل مجال التعريف فان هذه النقطة هي نقطة قصوى، أي بكلمات أخرى الشرط ان المشتقة صفرًا شرط ضروري (لدالّة قابلة للاشتقاق في مجال معروف) لكنه ليس كافيا.

نصّ المبرهنة

لنفرض أنّ f دالّة معرّفة في القطعة (a,b) ولنفرض ايضًا انّ c(a,b) نقطة قصوى (نهاية عظمى أو صغرى) فيها الدالّة قابلة للاشتقاق، اذًا فيتحقق f(c)=0.

برهان

نبرهن في حالة تكون فيها c نقطة نهاية عظمى. البرهان للحالة الثانيّة مشابه.

بما انّ - c نقطة نهاية عظمى، اذًا فهناك مجال U=(cδ,c+δ) كلّه داخل القطعة (a,b)، حيث انّه لكل xU يتحقّق f(x)f(c). ومن هنا فلكل Δx الّذي يحقّق c+ΔxU يتحقّق f(c+Δx)f(c).

الآن ننظر إلى مشتقّة الدالّة من اليسار واليمين بالنقطة c:

f'+(c)=limΔx0+f(c+Δx)f(c)Δx0

هذا صحيح لأنّ البسط دائمًا سالب أو صفر، كما رأينا، والمقام دائمًا موجب، لأن التقارب للصفر هو من اليمين.

بينما:

f'(c)=limΔx0f(c+Δx)f(c)Δx0

لأنه في هذه الحالة المقام دائمًا سالب.

لذلك وبما انّ الدالة قابلة للأشتقاق في النقطة c، فيتحقق f'(c)=f'+(c) ولهذا بالتأكيد f(c)=0.

طالع أيضا

المراجع

  1. ^ "Is Fermat's theorem about local extrema true for smooth manifolds?". Mathematics Stack Exchange. مؤرشف من الأصل في 2017-05-18. اطلع عليه بتاريخ 2017-04-21.
  2. ^ قالب:Note autre projet