مبرهنة القيمة الوسطية

  ميّز عن مبرهنة القيمة الوسطى.

مبرهنة القيمة الوسطية إحدى مبرهنات التحليل الرياضي للدوال المستمرة (المتصلة) في مجالها الفاصل. تقضي بالمجمل بأن الدالة المستمرة إذ كانت تتخذ قيمتين مختلفتين فإنها تتخذ جميع القيم التي بين هاتين القيمتين. لهذا الكلام لازمتين هما:

1. إذا كان لدالة متصلة ما قيمتان ذات إشارتين مختلفتين (إحداهما سالبة والأخرى موجبة) في مجال ما، فإنه حتما يوجد جذر لهذه الدالة داخل هذا المجال. تسمى هذه المسألة مرهنة بولزانو نسبة إلى عالم الرياضيات برنارد بولزانو.
2. صورة مجال بدالة متصلة هي ذاتها مجال.

بيان

إذا كانت دالة ذات قيم حقيقية (f) مستمرة في مجال معين ([a, b]) وكان عدد محصور بين صورتي هاتين القيمتين (f(a) < u < f(b))، فيوجد عدد من الفترة (c ∈ [a, b]) تساوي صورته العدد المحصور بين صورتي القيمتين. (f(c) = u)

علاقتها باكتمال الأعداد الحقيقية

مبرهنة القيمة الوسطية تتعلق وتكافئ اكتمال الأعداد الحقيقية. لا تطبق في مجموعة الأعداد الجذرية Q، لأن هذه المجموعة فيها فجوات بين عناصرها. الأعداد غير الجذرية هي التي تملأ هذه الفجوات. على سبيل المثال، الدالة $f(x)=x^2-2$ ، معرفةً على مجموعة الأعداد الجذرية (أي $x\in \mathbb{Q}$) تحقق $f(0)=-2$ و $f(2)=2$، ورغم ذلك ليس هنا من عدد جذري $x$ يحقق $f(x)=0$ لأن $\sqrt{2}$ عدد غير جذري.

البرهان

يمكن البرهان على مبرهنة القيمة الوسطية بالاعتماد على مفهوم خاصية الاكتمال للأعداد الحقيقية.

التاريخ

أول من برهن على هذه المبرهنة عالم الرياضيات برنارد بولزانو. كان ذلك عام 1817. جاء أوغستين لوي كوشي ببرهان آخر في عام 1821. اعتمد كلا العالمين في برهانهما على أعمال عالم الرياضيات جوزيف لوي لاغرانج.

تعميمات

ترتبط مبرهنة القيمة الوسطية ارتباطا شديدا بالمفهوم الطوبولوجي المتمثل في الفضاءات المتصلة منبثقةً من الخصائص الأساسية للمجموعات المتصلة في الفضاءات المترية. انظر إلى مبرهنة بورسوك-أولام.

انظر أيضا

• مبرهنة القيمة الوسطى.