قانون الأعداد الكبيرة

قانون الأعداد الكبيرة

يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشوائية يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشوائية۔

مثال

رمي درهم:

عدد الرميات	عدد ظهور الصورة		نسبة		البعد المطلق	البعد النسبي
	نظري	تطبيقي (مشاهد)	نظري	تطبيقي (مشاهد)
100	50	48	0٫500	0٫480	2	0٫020
1٬000	500	491	0٫500	0٫491	9	0٫009
10٬000	5٬000	4٬970	0٫500	0٫497	30	0٫003

قانون الأعداد الكبيرة الضعيف

يسمى قانون الأعداد الكبيرة الضعيفقانون خينتشين أيضا۔

مبرهنة — $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\mathbb{\mathbb{P}}(|\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}-E(X)|\ge \epsilon )=0$

برهان

$\mathbb{\mathbb{P}}(|Y-E(Y)|\ge \epsilon )\le \frac{V(Y)}{{\epsilon }^2}$۔

إن للمتغير $Y_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$ توقعا E(X) وتباينا $\frac{V(X)}{n}$۔ فلكل n :

$\mathbb{\mathbb{P}}(|\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}-E(X)|\ge \epsilon )\le \frac{V(X)}{n{\epsilon }^2}$۔