دالة روزين بروك

رسمة لدالة روزين بروك في متغيرين

في الإستمثال الرياضي , تعتبر دالة روزين بروك دالة غير محدبة وتستخدم كمشكلة في اختبار إستمثال الخوارزميات . وسميت على اسم هاورد روزين بروك عام 1960 . وهي تعرف أيضا بدالة الموز ( banana function ) .
وهدف الدالة هو الحصول على أفضل وأقل قيمة .

وتعرف الدالة بالشكل التالي :

$f(x,y)=(a-x{)}^2+b(y-x^2{)}^2$

والقيمة الصغري لها عند :

$(x,y)=(a,a^2)$
حيث :
$f(x,y)=0$
وعادة ما تكون
$a=1$
و
$b=100$.

التعميمات متعددة الأبعاد

دالة روزين بروك

عادة نواجة متغيرين مختلفين . الأول هو مجموع $N/2$ , وتفك بالمعادلة التالية :

$f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,\dots ,x_N)=\sum _{i=1}^{N/2}[100(x_{2i-1}^2-x_{2i}{)}^2+(x_{2i-1}-1{)}^2].$

وتكون قيم $N$ موجبة فقط .ويكون للدالة في هذة الحالة حلول بسيطة ويمكن التنبؤ بها .

والمتغير الثاني هو :

$f(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^{N-1}100(x_{i+1}-x_i^2{)}^2+(1-x_i{)}^2\text{where}\mathbf{x}=[x_1,\dots ,x_N]\in {\mathbb{R}}^N.$

وهذا المتغير تبين أن لدية قيمة صغري واحدة فقط ل $N=3$ عند $(1,1,1)$ . وقيمتين صغري لكل N قيمتها من $4\le N\le 7$ وهذة القيمة الصغري تقع بالقرب من النقطة $(x_1,x_2,\dots ,x_N)=(-1,1,\dots ,1)$. ويتم الحصول على هذة النتيجة بجعل درجة الدالة تساوي صفر .ويتم استخدام مبرهنة ستورم للحصول على عدد الجذور الحقيقية للدالة بشرط أن تكون قيمة $\left|x_i\right|<2.4$. وإذا كانت قيمة $N$ أكبر تفشل هذة الطريقة بسبب حجم المعاملات .

النقاط الثابتة

العديد من الجذور تظهر نمط منتظم عندما يتم رسمها .

النقاط الثابتة

انظر أيضا

• دالة شيكل .
• دالة راستريجن .
• دالة هيمل بلوه .

ملاحظات

• Rosenbrock، H. H. (1960)، "An automatic method for finding the greatest or least value of a function"، The Computer Journal، ج. 3، ص. 175–184، DOI:10.1093/comjnl/3.3.175، ISSN:0010-4620، MR:0136042

وصلات خارجية

• Rosenbrock function plot in 3D
• Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher
• إيريك ويستاين، Rosenbrock Function، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).