حلم الطالب المبتدئ

للتوضيح: مربع طول ضلعه x+y، ومساحة سطحه ليست $x^2+y^2$ بل تزيد بمقدار $2xy$.

حلم الطالب المبتدئ (بالإنجليزية: freshman's dream)‏ هو اسم يُطلق في بعض الأحيان على الخطأ: $(x+y{)}^n=x^n+y^n$ حيث $n$ عدد حقيقي (عادة يكون عدد صحيح موجب أكبر من 1).

يحدث هذا الخطأ بشكل شائع بين الطلاب المبتدئين في حساب الأس لمجموع عددين حقيقيين. عندما تكون $n=2$، ولتوضيح سبب الخطأ فإن $(x+y{)}^2$ يمكن أن تحسب بشكل صحيح من خلال المتطابقة الشهيرة أو ما يعرف بطريقة FOIL حيث تقول بأن: «مربع مجموع عددين هو مربع الأول + ضعفي الأول في الثاني + مربع الثاني»، حيث يكون الجواب $x^2+2xy+y^2$.

وعندما تأخذ $n$ أعداد صحيحة موجبة أكبر، يعطى الناتج الصحيح بواسطة مبرهنة ثنائية الحد.

ويُطلق اسم «حلم الطالب المبتدئ» في بعض الأحيان أيضاً على المبرهنة التي تقول بأنه: لكل عدد أولي $p$، إذا كان العددان $x$ و $y$ مقدارين من حلقة تبادلية مميزها هو (characteristic) $p$ فإن: $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ ; في هذه الحالة يكون هذا «الخطأ» هو في الواقع الجواب الصحيح، وذلك لأن تقسيم $p$ على كل المعاملات الثنائية يُبقي العددان الأول والأخير.

أمثلة

• $(1+4{)}^2=5^2=25$ في حين أن: $1^2+4^2=17$
• $\sqrt{(x+y{)}^2}$ لا تساوي $\sqrt{(x{)}^2}+\sqrt{(y{)}^2}=\left|x\right|+\left|y\right|$

على سبيل المثال: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ وهذا لا يساوي 3+4 = 7 . في هذا المثال تم ارتكاب الخطأ من أجل الأس $n=1/2$

برهان

لكل عدد أولي $p$، إذا كان العددان $x$ و $y$ مقدارين من حلقة تبادلية مميزها (characteristic) هو $p$ فإن: $(x+y{)}^p=x^p+y^p$

يمكن برهان ذلك عند تطبيق مبرهنة ثنائية الحد حيث:

$(x+y{)}^p=\sum _{i=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})x^i{y}^{p-i}$.

حيث:

.$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})=\frac{p!}{(p-i)!i!}=p\cdot \frac{(p-1)!}{(p-i)!i!}$

فعندما يكون $p$ عددا أوليا

و $1\le i\le p-1$

فإن $i!$ وكذلك $(p-i)!$ لا تقبلان القسمة على $p$.

و تكون $\frac{(p-1)!}{(p-i)!i!}$ هو العدد الصحيح $m$ حيث أن $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})=pm\equiv 0$.

لذا $(x+y{)}^p=x^p+y^p$.

انظر أيضاً

• حلم الطالب الجامعي