تخمين فيرما كاتالان

في نظرية الأعداد تخمين فيرما كاتالان هو تعميم مبرهنة فيرما الأخيرة حدسية كاتالان ومن هنا جاء الاسم. ينص التخمين على أن المعادلة

$a^m+b^n=c^k$

(1)

له عدد محدود من الحلول فقط ( a,b,c,m,n,k ) مع ثلاثة توائم متميزة من القيم ( a^m, bⁿ, c^k ) حيث a, b, c هي أعداد صحيحة موجبة من نوع اولية نسبيا و m ، n ، k هي ايجابية مرضية

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1.$

(2)

المتباينة في m و n و k جزء ضروري من التخمين. بدون المتباينة سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول على سبيل المثال مع k = 1 (لأي a و b و m و n ومع c = a ^m + b ⁿ ) أو مع m و n و k كلها تساوي اثنين ( لثلاثيات فيثاغورس).

اعتبارًا من عام ٢٠١٥ أصبحت الحلول العشرة التالية للمعادلة (1) التي تفي بمعايير المعادلة (2) معروفة:

$1^m+2^3=3^2$ (ل $m>6$ لإرضاء المعادلة. 2)

$2^5+7^2=3^4$

$7^3+13^2=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

أول معادلة هي (1^m + 2³ = 3² ) هو الحل الوحيد حيث يكون أحدa, b or c يكون 1. وفقًا للتخمين الكاتالوني ، الذي تم إثباته في عام ٢٠٠٢ بواسطة <b>بريدا ميهيليسكو</b> . بينما تؤدي هذه الحالة إلى عدد لا نهائي من الحلول لـ (1) (حيث يمكن للمرء اختيار m الى m > 6).

نتائج جزئية

من المعروف من خلال نظرية دارمون-جرانفيل ، التي تستخدم <b>مبرهنة فالتينجز</b> أنه لأي اختيار ثابت للأعداد الصحيحة الموجبة م ، ن و ك مرضي (2).

تشير حدسية abc إلى حدسية فيرمات - الكاتالونية.

للحصول على قائمة بنتائج مجموعات الأس المستحيلة ، راجع حدس بيل # النتائج الجزئية . يكون تخمين بيل صحيحًا فقط إذا كانت جميع حلول فيرما كاتالان تحتوي على m = 2 أو n = 2 أو k = 2.