هذه المقالة يتيمة. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها

تخمين فيرما كاتالان

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في نظرية الأعداد تخمين فيرما كاتالان هو تعميم مبرهنة فيرما الأخيرة حدسية كاتالان ومن هنا جاء الاسم. ينص التخمين على أن المعادلة

am+bn=ck

 

 

 

 

(1)

له عدد محدود من الحلول فقط ( a,b,c,m,n,k ) مع ثلاثة توائم متميزة من القيم ( am, bn, ck ) حيث a, b, c هي أعداد صحيحة موجبة من نوع اولية نسبيا و m ، n ، k هي ايجابية مرضية

1m+1n+1k<1.

 

 

 

 

(2)

المتباينة في m و n و k جزء ضروري من التخمين. بدون المتباينة سيكون هناك عدد لا نهائي من الحلول على سبيل المثال مع k = 1 (لأي a و b و m و n ومع c = a m + b n ) أو مع m و n و k كلها تساوي اثنين ( لثلاثيات فيثاغورس).

اعتبارًا من عام ٢٠١٥ أصبحت الحلول العشرة التالية للمعادلة (1) التي تفي بمعايير المعادلة (2) معروفة: [1]

1m+23=32m>6 لإرضاء المعادلة. 2)
25+72=34
73+132=29
27+173=712
35+114=1222
338+15490342=156133
14143+22134592=657
92623+153122832=1137
177+762713=210639282
438+962223=300429072

أول معادلة هي (1m + 23 = 32 ) هو الحل الوحيد حيث يكون أحدa, b or c يكون 1. وفقًا للتخمين الكاتالوني ، الذي تم إثباته في عام ٢٠٠٢ بواسطة <b>بريدا ميهيليسكو</b> . بينما تؤدي هذه الحالة إلى عدد لا نهائي من الحلول لـ (1) (حيث يمكن للمرء اختيار m الى m > 6).

نتائج جزئية

من المعروف من خلال نظرية دارمون-جرانفيل ، التي تستخدم <b>مبرهنة فالتينجز</b> أنه لأي اختيار ثابت للأعداد الصحيحة الموجبة م ، ن و ك مرضي (2).

تشير حدسية abc إلى حدسية فيرمات - الكاتالونية. [2]

للحصول على قائمة بنتائج مجموعات الأس المستحيلة ، راجع حدس بيل # النتائج الجزئية . يكون تخمين بيل صحيحًا فقط إذا كانت جميع حلول فيرما كاتالان تحتوي على m = 2 أو n = 2 أو k = 2.

مراجع

  1. ^ Pomerance، Carl (2008)، "Computational Number Theory"، في Gowers، Timothy؛ Barrow-Green، June؛ Leader، Imre (المحررون)، رفيق برينستون للرياضيات، Princeton University Press، ص. 361–362، ISBN:978-0-691-11880-2.
  2. ^ Waldschmidt، Michel (2015). "Lecture on the abc conjecture and some of its consequences". Mathematics in the 21st century (PDF). Springer Proc. Math. Stat. Basel: Springer. ج. 98. ص. 211–230. DOI:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. MR:3298238. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-12-03.