نظام الإحداثيات الإهليلجية

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
نظام إحداثيات إهليلجي

في الهندسة الرياضية، نظام الإحداثيات الإهليلجية هو نظام إحداثيات متعامد ثنائي الأبعاد تكون فية خطوط الإحداثيات إهليلجية متّحدة البؤر ووقطوع زائدة .[1] بؤرتا القطع الناقص F1 وF2 إجْمالاً تستخرج لتكون ثابتة في a و +a على التوالي، على x محور نظام الإحداثيات الديكارتية.

التعريف الأساسي

التعريف الأكثر شيوعًا للإحداثيات الإهليلجية (μ,ν) هو

x=acoshμcosν
y=asinhμsinν

μ هو رقم حقيقي غير سالب و ν[0,2π]. على المستوي المركب، والعلاقة المكافئة هي

x+iy=acosh(μ+iν)

هذه التعاريف مع تتوافق القطع الناقص والقطع الزائد . التطابق المثلثي

x2a2cosh2μ+y2a2sinh2μ=cos2ν+sin2ν=1

يدل على منحنيات ثابتة μ من القطوع الناقصة في حين أن المنحنى زائدي المقطع متطابق

x2a2cos2νy2a2sin2ν=cosh2μsinh2μ=1

يدل على منحنيات ثابتة ν من القطوع الزائدة .

عوامل القياس

في الإحداثيات المتعامدة تعرف أطوا متجهات القواعد بعوامل القياس. وعوامل قياس الإحداثيات الإهليلجية (μ,ν) تساوي:

hμ=hν=asinh2μ+sin2ν=acosh2μcos2ν.

استخدام متغير الدوال الزائدية والدوال المثلثية، يمكن التعبير عن عوامل القياس بالتساوي كالتالي

hμ=hν=a12(cosh2μcos2ν).

وبالتالي، العنصر الا متناهي الصغر للمسساحة يساوي

dA=hμhνdμdν=a2(sinh2μ+sin2ν)dμdν=a2(cosh2μcos2ν)dμdν=a22(cosh2μcos2ν)dμdν

ودالة لابلاس تفسر

2Φ=1a2(sinh2μ+sin2ν)(2Φμ2+2Φν2)=1a2(cosh2μcos2ν)(2Φμ2+2Φν2)=2a2(cosh2μcos2ν)(2Φμ2+2Φν2).

العوامل التفاضلية الأخرى مثل F و ×F يمكن التعبير عنها في الإحداثيات (μ,ν) عن طريق الاستعاضة عنها بعوامل القياس في الصيغة العامة الموجودة في الإحداثيات المتعامدة.

مراجع

  1. ^ "معلومات عن نظام إحداثي إهليلجي على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2021-12-21.