نظام الإحداثيات الإهليلجية

نظام إحداثيات إهليلجي

في الهندسة الرياضية، نظام الإحداثيات الإهليلجية هو نظام إحداثيات متعامد ثنائي الأبعاد تكون فية خطوط الإحداثيات إهليلجية متّحدة البؤر ووقطوع زائدة . بؤرتا القطع الناقص $F_1$ و$F_2$ إجْمالاً تستخرج لتكون ثابتة في $-a$ و $+a$ على التوالي، على $x$ محور نظام الإحداثيات الديكارتية.

التعريف الأساسي

التعريف الأكثر شيوعًا للإحداثيات الإهليلجية $(\mu ,\nu )$ هو

$x=a\cosh \mu \cos \nu$

$y=a\sinh \mu \sin \nu$

$\mu$ هو رقم حقيقي غير سالب و $\nu \in [0,2\pi ]$. على المستوي المركب، والعلاقة المكافئة هي

$x+iy=a\cosh (\mu +i\nu )$

هذه التعاريف مع تتوافق القطع الناقص والقطع الزائد . التطابق المثلثي

$\frac{x^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{y^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

يدل على منحنيات ثابتة $\mu$ من القطوع الناقصة في حين أن المنحنى زائدي المقطع متطابق

$\frac{x^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

يدل على منحنيات ثابتة $\nu$ من القطوع الزائدة .

عوامل القياس

في الإحداثيات المتعامدة تعرف أطوا متجهات القواعد بعوامل القياس. وعوامل قياس الإحداثيات الإهليلجية $(\mu ,\nu )$ تساوي:

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }=a\sqrt{{\cosh }^2\mu -{\cos }^2\nu }.$

استخدام متغير الدوال الزائدية والدوال المثلثية، يمكن التعبير عن عوامل القياس بالتساوي كالتالي

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{\frac{1}{2}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}.$

وبالتالي، العنصر الا متناهي الصغر للمسساحة يساوي

$dA=h_{\mu }{h}_{\nu }d\mu d\nu =a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu =a^2({\cosh }^2\mu -{\cos }^2\nu )d\mu d\nu =\frac{a^2}{2}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )d\mu d\nu$

ودالة لابلاس تفسر

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2})=\frac{1}{a^2({\cosh }^2\mu -{\cos }^2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2})=\frac{2}{a^2(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\nu }^2}).$

العوامل التفاضلية الأخرى مثل $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}$ و $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}$ يمكن التعبير عنها في الإحداثيات $(\mu ,\nu )$ عن طريق الاستعاضة عنها بعوامل القياس في الصيغة العامة الموجودة في الإحداثيات المتعامدة.