معادلة رامانجان-ناغل

في الرياضيات، و تحديدًا في نظرية الأعداد، معادلة رامانجان-ناغل (بالإنجليزية: Ramanujan–Nagell equation)‏ هي معادلة بين مربع كامل و عدد أصغر من قوة العدد اثنين بسبعة. و هي مثال لمعادلة ديفونتية أسية، معادلة للحل بأعداد صحيحة حيث يظهر أحد المتغيرات كأُس. سميت باسم سرينفاسا رامانجان، الذي حدس أن لها خمسة حلول صحيحة فقط، و ترجف ناغل، الذي أثبت الحدسية.

المعادلة والحل

المعادلة هي

$2^n-7=x^2$

أعداد ميرسين المثلثية

مشكلة العثور على جميع الأعداد على الشكل 2^b − 1 (أعداد ميرسين) التي هي مثلثية مكافئة ل:

$\begin{array}{rr}& 2^b-1=\frac{y(y+1)}{2}\\ [2pt]⟺& 8(2^b-1)=4y(y+1)\\ ⟺& 2^{b+3}-8=4y^2+4y\\ ⟺& 2^{b+3}-7=4y^2+4y+1\\ ⟺& 2^{b+3}-7=(2y+1{)}^2\end{array}$

قيم b في هذه المعادلة هي ذاتها قيم n-3 في معادلة رامانجان-ناغل، وأعداد ميرسين المثلثية المناسبة (تسمى أيضًا أعداد رامانجان-ناغل) هي:

$\frac{y(y+1)}{2}=\frac{(x-1)(x+1)}{8}$

وصلات خارجية

• إيريك ويستاين، {{{title}}}، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• G. Myerson (2002). "Can N² + N - 2 Be A Power Of 2?". mathforum.org. مؤرشف من الأصل في 2016-03-09.