معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام

$f_n(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +p_1(x)y^{\prime }+f_0(x)y=G(x)$

حيث $f_i(x)$ و $G(x)$ هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث $p_n(x)\ne 0$، و$y(x)$ هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

وعندما تكون $G(x)=0$ تسمى المعادلة حينئذٍ بالمتجانسة Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل).

عندما تكون المعاملات $p_i(x)$ مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابتة.

مؤثر تفاضلي خطي

ممكن كتابة المعادلة بواسطة المؤثر: $L=\frac{d^n}{d{x}^n}+p_{n-1}\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}+\dots +p_0$ بحيث ان:

$L[y]=(\frac{d^n}{d{x}^n}+p_{n-1}\frac{d^{n-1}}{d{x}^{n-1}}+\dots +p_0)y$

وبالتالي يمكن كتابة المعادلة بالصورة الاتية: $L[y]=q(x)$. المعادلة تسمى «خطية» لان المؤثر هو خطي: $L[{\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2]={\lambda }_{1}L[y_1]+{\lambda }_{2}L[y_2]$.

لان هذا المؤثر التفاضلي يعبّر عن مشتقات، وصفاته الخطية تنبع من قواعد الاشتقاق. من هنا نتسنتج انه إذا كان $v(x)$ و $u(x)$ حلول للمعادلة التفاضلية المعطاة، فان $v(x)+u(x)$ هو أيضا حل، وأيضا $c_{1}v(x)+c_{2}u(x)$ أيضا حل (بحيث ان $c_1,c_2$ هي ثوابت اختيارية. كما ذكرنا إذا كان $q(x)\equiv 0$ المعادلة تسمى متجانسة'.

حل المعادلة التفاضلية

فيما يخص المعادلة التفاضلية المتجانسة مجموعة الحلول تشكّل فضاء متجهي، نبحث عن قاعدة من هذه الحلول.أي مجموعة دوال $y_1,\dots ,y_n$ يمكن كتابة كل حل للمعادلة بصورة خطية بواسطة الحلول : $y=c_1{y}_1+\dots +c_n{y}_n$. بحيث $c_1,\dots ,c_n$ ثوابت اختيارية، «حل عام للمعادلة المتجانسة».

إذا يكفي ان نبحث عن الحلول $y_1,\dots ,y_n$ لنجد الحل العام.

لمعادلة خطية غير متجانسة $L[y]=q(x)$ الميّزة ان الفرق بين حلّين يعطينا حل للمعادلة المتجانسة $L[y]=0$. أي أن، إذا $L[y_1]=L[y_2]=q(x)$ إذا ينتج $L[y_1-y_2]=L[y_1]-L[y_2]=q(x)-q(x)=0$. ومن هنا نتنج صفة مهمة لمعادلة خطية غير متجانسة:

إذا إذا كان $y$ حل عام للمعادلة الغير متجانسة، و $y_p$ هو حل خاص لها، إذا $y-y_p$, مثلما اوضحنا، هو حل للمعادلة المتجانسة.

وبنصّ آخر، باختصار الحل العام للمعادلة الغير متجانسة عبارة عن :$y=y_p+y_H$

$y_p$ حل خاص للغير متجانسة

$y_H$ حل عام للمتجانسة

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل $p_n{y}^{(n)}+p_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_1{y}^{\prime }+p_{0}y=0$

وتحل باستخدام الوسيط $y=e^{\lambda }$

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل $p_n{\lambda }^n+p_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +p_1\lambda +p_0=0$ لها عدد n من الحلول $\lambda =s_0,s_1,\dots ,s_{n-1}$

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

$y_i(x)=e^{s_{i}x}$

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل $y_H(x)=C_0(x)y_0(x)+C_1(x)y_1+\cdots +C_{n-1}(x)y_{n-1}$

حيث$C_i(x)$ قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

$p_n{y}^{(n)}+p_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_1{y}^{\prime }+p_{0}y=q(x)$

تمثيلات أخرى

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الرتبة $i$ بالرمز $D^i$ أي

$y^{(i)}=\frac{d^{i}y}{d{x}^i}=D^{i}y$

وتصبح المعادلة كالتالي

$(p_n(x)D^n+p_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots +p_1(x)D+p_0(x))y=q(x)$

أو $\sum _{i=0}^n{p}_i(x)D^{i}y=q(x)$