عدد مثلثي تربيعي

من أرابيكا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من عدد تربيعي مثلثي)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
عدد مثلثي تربيعي 36 تم تمثيله كعدد مثلثي وكعدد مربع.

العدد المثلثي التربيعي (أو العدد التربيعي المثلثي) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل. هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية، الأولى منها هي 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (متسلسلة A001110 في OEIS).

الصيغ الصريحة

بكتابة Nk للعدد المثلثي التربيعي kوبكتابة sk وtk لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة بالصورة

Nk=sk2=tk(tk+1)2.

عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي N=n(n+1)2 على أنه n. من التعريف ومن الصيغة التربيعية n=8N+112.لذلك، N يكون مثلثي إذا وإذا كان فقط 8N+1 تربيعيا. بناء عليه، M2 يكون تربيعيا ومثلثيا إذا وإذا كان فقط 8M2+1 تربيعيا، بعبارة أخرى، توجد أعداد x وy بحيث x28y2=1. هذه صورة من معادلة بيل مع n=8. جميع معادلات بيل لها حلول بديهية لأي قيمة n، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس (x0,y0). إذا كان(xk,yk) يرمز إلى الحل اللابديهي k لأي معادلة بيل لقيمة محدد n، فيمكن تبيان أن xk+1=2xkx1xk1 وyk+1=2ykx1yk1. بالتالي هناك لانهاية من الحلول لأي معادلة بيل بحيث لها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة. الحل اللابديهي الأول عندما n=8 سهل الإيجاد: إنه (3,1). الحل (xk,yk) لمعادلة بيل عندما n=8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية: sk=yk,tk=xk12, وNk=yk2. بالتالي، العدد المثلثي التربيعية الأول، مشتق من (3,1), is 1، والثاني مشتق من (17,6) (=6×(3,1)-(1,0)), هو 36.

في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة [1][2]:12–13

Nk=((3+22)k(322)k42)2.

من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة

Nk=132((1+2)2k(12)2k)2=132((1+2)4k2+(12)4k)=132((17+122)k2+(17122)k).

الصيغ الصريحة المقابلة لـ sk وtk هي [2]:13

sk=(3+22)k(322)k42

و

tk=(3+22)k+(322)k24.

معادلة بيل

تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.[3] كل عدد مثلثي هو بالصورة t(t + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة t، s بحيث

t(t+1)2=s2.

بتحليل جبري بسيط تصبح

(2t+1)2=8s2+1,

ثم بجعل x = 2t + 1 وy = 2s، نحصل على معادلة ديفونتية

x22y2=1

وهي صورة من معادلة بيل. هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs Pk بصورة [4]

x=P2k+P2k1,y=P2k;

ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة

sk=P2k2,tk=P2k+P2k112,Nk=(P2k2)2.

هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.

علاقات المعاودة أو التكرار

هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا[5]:(12)

Nk=34Nk1Nk2+2, with N0=0 and N1=1.
Nk=(6Nk1Nk2)2, with N0=0 and N1=1.

لدينا[1][2]:13

sk=6sk1sk2, with s0=0 and s1=1;
tk=6tk1tk2+2, with t0=0 and t1=1.

بيانات عددية

مع كبر قيمة k ، تصبح النسبة tk/sk قريبة من 21.41421356 ونسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من (1+2)4=17+12233.970562748. الجدول التالي يعطي قيما من k between 0 and 11، والتي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى 100000000.

k Nk sk tk tk/sk Nk/Nk1
0 0 0 0
1 1 1 1 1.00000000
2 36 6 8 1.33333333 36.000000000
3 1225 35 49 1.40000000 34.027777778
4 41616 204 288 1.41176471 33.972244898
5 1413721 1189 1681 1.41379310 33.970612265
6 48024900 6930 9800 1.41414141 33.970564206
7 1631432881 40391 57121 1.41420118 33.970562791
8 55420693056 235416 332928 1.41421144 33.970562750
9 1882672131025 1372105 1940449 1.41421320 33.970562749
10 63955431761796 7997214 11309768 1.41421350 33.970562748
11 2172602007770041 46611179 65918161 1.41421355 33.970562748


طالع أيضا

وصلات خارجية

المصادر

  1. ^ أ ب Dickson، Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. Providence: American Mathematical Society. ج. 2. ص. 16. ISBN:978-0-8218-1935-7.
  2. ^ أ ب ت Euler, Leonhard (1813). "Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)". Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg (باللاتينية). 4: 3–17. Archived from the original on 2013-10-22. Retrieved 2009-05-11. According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.
  3. ^ Barbeau، Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. ص. 16–17. ISBN:978-0-387-95529-2. مؤرشف من الأصل في 2017-04-07. اطلع عليه بتاريخ 2009-05-10.
  4. ^ Hardy، G. H.؛ Wright، E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (ط. 5th). Oxford University Press. ص. 210. ISBN:0-19-853171-0. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15. Theorem 244
  5. ^ إيريك ويستاين، Square Triangular Number، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).