عرض مصدر 1 − 2 + 3 − 4 + ···

[[ملف:Pm1234_Ground.png|تصغير|رسم توضيحي يظهر أول 15000 مجموع جزئي من سلسلة 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·، وتظهر الأرقام الموجبة إلى اليمين والأرقام السالبة إلى اليسار.]]

في [[رياضيات|الرياضيات]]، تشير صيغة '''1 − 2 + 3 − 4 + ···''' إلى [[متسلسلة (رياضيات)|متسلسة غير منتهية]] والتي تكون حدودها [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]] موجبة ذات إشارة متناوبة.<ref>[http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF).] math.ucr.edu (December 19, 2003). Retrieved on March 11, 2007. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121030062527/http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf |date=30 أكتوبر 2012}}</ref> وباستخدام صيغة [[:en:Summation|مجموع سيغما]]، يكون مجموع الحدود ''m'' الأولى من هذه المتسلسة معطى بالعلاقة:
: <math>\sum_{n=1}^m n(-1)^{n-1}</math>
هذه المتسلسلة هي [[متسلسلة متباعدة]]، لأن المجاميع الجزئية لهذه المتسلسلة (1، -1، 2، -2...) لا تؤول إلى قيمة محدودة. على الرغم من ذلك فإن [[ليونهارت أويلر|أويلر]] كتب في القرن الثامن عشر [[مفارقة]] تنص بأن المجموع الكلي لهذه المتسلسة هو 1/4 بالشكل:
: <math>1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}</math>
وظلت تلك المفارقة بدون [[برهان رياضي|إثبات]] لمدة طويلة. ومنذ عام 1890، قام إرنست سيزارو و[[إيميل بوريل]] وآخرون بدراسة طرق [[عبارة معرفة جيدا|محددة]] لتعيين مجاميع عامة للمتسلسلات المتباعدة تتضمن تفسيرات جديدة لمحاولة أويلر. الكثير من تلك الطرق تحقق أن مجموع متسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} هو القيمة <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>. كانت طريقة «[[:en:Cesàro summation|مجموع سيزارو]]» من الطرق القلائل التي لم تعطي مجموعا لمتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}}، ولذلك تعد هذه المتسلسلة مثالا على المتسلسلات التي تحتاج إلى طريقة أقوى مثل [[:en:Abel summation|مجموع آبل]].

متسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... مرتبطة ب [[متسلسلة غراندي]] {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}}. تعامل أويلر مع هاتين المتسلسلتين كحالة خاصة من ( {{بدون لف|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + ...}}) لقيم اختيارية للمتغير ''n''، وهناك أبحاث لتعميم عمله على [[معضلة بازل]] تؤدي إلى [[معادلة دالية]] لما يُعرف بـ [[دالة إيتا لدركليه]] و [[دالة زيتا لريمان]].
== التباعد ==
حدود المتسلسلة (1, −2, 3, −4, ...) لا تؤول إلى 0، وبالتالي فإن {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} تتباعد وفق [[اختبار الحد النوني]]. وفقا للتعريف فإن تقارب أو تباعد متسلسلة محدودة يمكن تحديده من  [[نهاية متتالية|تقارب أو تباعد]] مجاميعها الجزئية. المجاميع الجزئية لـ {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} هي:<ref>Hardy p.8</ref>
: 1 = '''1''',
: 1 − 2 = '''−1''',
: 1 − 2 + 3 = '''2''',
: 1 − 2 + 3 − 4 = '''−2''',
: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = '''3''',
: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = '''−3''',
: ...
يُلاحظ أن كل [[عدد صحيح]] (Integer) يظهر مرة واحدة فقط، حتى الـ0 في حالة المجموع الجزئي الفارغ ( empty partial sum) وبالتالي فهو [[مجموعة قابلة للعد]] للمجموعة <math>\mathbb{Z}</math> (أ<nowiki/>[[عدد صحيح|عداد صحيحة]]).<ref>Beals p.23</ref> متتالية المجاميع الجزئية توضح أن المتسلسلة لا تتقارب إلى رقمٍ ما (لأي نهاية مفترضة x، يمكن إيجاد نقطة تالية بحيث أن المجاميع الجزئية التالية لها تقع جميعها خارج الفترة [''x''−1, ''x''+1])، لذلك فإن المتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} متباعدة.
== الاستدلال على الجمع ==
=== الاستقرار والخطية ===
حيث أن العناصر 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... تتبع نظام بسيط، فإن المتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} يمكن التعامل معها بإزاحة العناصر واحدا واحدا ثم الجمع لإيجاد قيمة لها. إذا قلنا أن... + s = 1 − 2 + 3 − 4، فالطريقة التالية توضح أن  {{بدون لف|1=''s'' = {{frac|1|4}} :}} {{بحاجة لمصدر|تاريخ = مارس 2021}}
: <math>
\begin{array}{rclllll}
4s&=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) & {}+(1-2+3-4+\cdots) &{}+(1-2+3-4+\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=& &(1-2+3-4+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+1+(-2+3-4+5+\cdots) &{}-1+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+&(1-2+3-4+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) & {}+(-2+3-4+5+\cdots) &{}+(3-4+5-6\cdots) \\
 &=&1+[&(1-2-2+3) & {}+(-2+3+3-4) & {}+(3-4-4+5) &{}+(-4+5+5-6)+\cdots] \\
 &=&1+[&0+0+0+0+\cdots] \\
4s&=&1
\end{array}
</math>
[[ملف:Pm1234_linearity.svg|يسار|تصغير|بجمع 4 نسخ من {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...,}} بعد عمل إزاحة والجمع ينتج 1. كل واحدة من الناحيتين اليمين واليسار تبين جمع نسختين من {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} لاحظ أن ناتج الجمع هو {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ....}}]]
أي أن  <math>s=\frac{1}{4}</math>. ويمكن توضيح ذلك بالرسم المقابل.

رغم أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... ليس لها مجموع بمجرد النظر، إلا أن {{بدون لف|1=''s'' = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}}  يمكن دعمها إذا أردنا تعريف ذلك المجموع. هناك العديد من الطرق (بعضها مذكور أدناه) للتعامل مع مجموع [[متسلسلة متباعدة]]. ومن المفضل لتلك الطرق أن يكون لها بعض خصائص جمع المتسلسلات العادية. وباستخدام أية طريقة للجمع (خطية ومستقرة) فإن مجموع  {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} هو <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>.<ref name="Hardy p.6">Hardy p.6</ref>

وحيث أن:
: <math>
\begin{array}{rcllll}
2s & = & &(1-2+3-4+\cdots) & + & (1-2+3-4+\cdots) \\
 & = & 1 +{} &(-2+3-4+\cdots) & {} + 1 - 2 & {}+ (3-4+5\cdots) \\
 & = & 0 +{} &(-2+3)+(3-4)+ (-4+5)+\cdots \\
2s & = & &1-1+1-1\cdots
\end{array}
</math>
فهذه الطريقة يمكن استخدامها لإثبات أن مجموع [[متسلسلة غراندي]] {{بدون لف|1=1 − 1 + 1 − 1 + ... = {{frac|1|2}}.}}<ref name="Hardy p.6"/>

=== مضروب كوشي ===
في عام 1891، أعطى إيرنست سيزارو أملا في إيجاد حلولا رياضية للمتسلسلات المتباعدة، فمثلا {{بدون لف|1=(1 − 1 + 1 − 1 + ...)<sup>2</sup> = 1 − 2 + 3 − 4 + ...}} وكلا الطرفان يساوي <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>.<ref>Ferraro, p.130.</ref> وكان ذلك تطبيقا لنظرية نشرها سيزارو في العام السابق، والتي تُعد أول نظرية في التاريخ لجمع المتسلسلات المتباعدة.<ref>Hardy, p.8.</ref> وبيان ذلك الجمع كالتالي:  الفكرة المحورية هي أن {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} هي مضروب كوشي ([[الطي (رياضيات)|التفاف]] رقمي) لكلا من {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} مع {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}}.

يمكن تعريف مضروب كوشي لمتسلسلتين لا نهائيتين حتى لو كانت كلتاهما متباعدة. ففي حالة ما إذا كان ''a''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''n''</sub> = (−1)<sup>''n''</sup>، فإن عناصر مضروب كوشي تُعطى بمجموع الأقطار المحدود
: <math>\begin{array}{rcl}
c_n & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k (-1)^{n-k} \\[1em]
 & = &\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^n = (-1)^n(n+1).
\end{array}</math>
وبالتالي فإن متسلسلة الضرب هي:
: <math>\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1) = 1-2+3-4+\cdots.</math>
فطريقة الجمع التي توافق مضروب كوشي لمتسلسلتين، والتي أثبتت أن مجموع المتسلسلة {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}}هو 1/2 يمكنها أيضا أن تثبت أن مجموع المتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} هو 1/4. مما سبق فهناك توافق بين طرق جمع {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} و {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} مع الطرق الخطية المستقرة التي تحقق مضروب كوشي.

وتعد نظرية سيزارو مثالا واضحا لذلك. المتسلسلة {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} قابلة للجمع (وفق سيزارو) بأقل درجة، وتسمى قابلة للجمع-{{بدون لف|(C, 1)}} بينما المتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} تحتاج شكل أقوى من نظريات سيزارو،<ref>Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.</ref>  هي قابلة للجمع-{{بدون لف|(C, 2).}} وحيث أن كل أشكال نظرية سيزارو هي خطية ومستقرة، فإن نتائج الجمع هي كما أسلفنا.
== طرق خاصة ==
=== سيزارو وهولدر ===
[[ملف:Pm1234_means.svg|يسار|تصغير|بيانات عن مجموع (H, 2)  والناتج  <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>]]
لإيجاد مجموع سيزارو (C, 1) للمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... إذا كان موجودا، يجب حساب [[متوسط حسابي|المتوسطات الحسابية]] للمجاميع الجزئية للمتسلسلة. المجاميع الجزئية هي:
: 1، −1، 2، −2، 3، −3...
والمتوسطات الحسابية لتلك المجاميع الجزئية هي:
: 1، 0، <sup>2</sup>'''⁄'''<sub>3</sub>، 0، <sup>3</sup>'''⁄'''<sub>5</sub>، 0، <sup>4</sup>'''⁄'''<sub>7</sub>....
وهذه المتوسطات لا تتقارب، ولذلك فالمتسلسلة   1 − 2 + 3 − 4 + ... ليست قابلة للجمع وفق سيزارو.

هناك تعميمان مشهوران لجمع سيزارو: أبسطهما هو طرق (H, ''n'') [[عدد طبيعي|للأعداد الطبيعية]] ''n''. حيث (H, 1) هو مجموع سيزارو، والطرق الأعلى تُكرر حساب المتوسطات. كما نرى -أعلاه- فإن المتوسطات الزوجية تتقارب إلى <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>2</sub>، بينما المتوسطات الفردية جميعها يساوي 0، وبذلك يكون متوسط المتوسطات يتقارب إلى 0  و <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>2</sub>، أي <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>.<ref>Hardy, p.9. For the full details of the calculation, see Weidlich, pp.17–18.</ref> وبالتالي يمكن القول أن {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} هي قابلة للجمع (H, 2) وتؤول إلى <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>.

الرمز "H" يعود للعالِم Otto Hölder، والذي يُعد أول من أثبت في عام 1882 ما يعتبره الرياضاتيون الآن الرابط بين «[[مبرهنة آبل|مجموع آبل]]» ومجموع (H, ''n''); المتسلسلة  {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} كانت أول مثال.<ref>Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro criticizes Tucciarone's explanation (p.7) of how Hölder himself thought of the general result, but the two authors' explanations of Hölder's treatment of 1 − 2 + 3 − 4 + ... are similar.</ref> حقيقة أن <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub> هي مجموع (H, 2) للمتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} أكدت أنها هي «مجموع آبل» أيضا، وسيتم أثبات ذلك لاحقا.

التعميم الآخر لجمع سيزارو هو طرق (C, ''n''). حيث ثبت أن جمع (C, ''n'') وجمع (H, ''n'') دائما يعطيان نفس النتائج، لكن لهما خلفيات مختلفة. في عام 1887، اقترب سيزارو من وضع تعريف جمع (C, ''n'')، لكنه أعطى أمثلة قليلة. فقد ذكر أن مجموع المتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...،}} هو القيمة <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub> بطريقة يمكن اعتبارها قريبة من طريقة جمع (C, ''n'') لكنها لم يتم تحقيقها في ذلك الوقت. وقد قام بصياغة طريقة جمع (C, n) في عام 1890 لينص على أن مضروب كوشي لمتسلسة قابلة للجمع-(C, ''n'') ومتسلسلة قابلة للجمع-(C, ''m'') هو متسلسلة قاببة للجمع- (C, ''m'' + ''n'' + 1).<ref>Ferraro, pp.123–128.</ref>

=== مجموع آبل ===
[[ملف:Pm1234 Abel-2.jpg|يسار|تصغير|291x291بك]]
في عام 1749، قرر أويلر أن المتسلسلة تتباعد لكنه حاول إيجاد مجموع لها بأية طريقة:
{{اقتباس|عندما يُقال أن مجموع المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 . هو 1⁄4، يبدو ذلك مفارقة. وذلك لأنه بجمع 100 عنصر من تلك المصفوفة نحصل على −50، ولكن مجموع 101 عنصر يُعطى +51، والتى تختلف تمام  عن  1⁄4 ويظل المجموع كبيرا عندما نزيد عدد العناصر التى يتم جمعها. لكني لاحظت سابقا أنه من الضروري إعطاء كلمة "جمع (Sum) معناً أوسع ...<ref>Euler et al., p.&nbsp;2. Although the paper was written in 1749, it was not published until 1768.</ref>}}

قدَّم أويلر عدة تعميمات لكلمة «جمع». في حالة المتسلسلة  {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}}تُعد فكرته مشابهة لما يُعرف بـ «مجموع آبل»:
 ليس هناك شك في أن مجموع المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + 5 هو 1⁄4، لأنها تأتي من مفكوك المعادلة <math>\frac{1}{(1+1)^2}.</math> والتي قيمتها 1⁄4. ويمكن توضيح الفكرة باعتبار المتسلسلة العامة (<math>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots </math>). والتي تظهر في مفكوك <math>\frac{1}{(1+x)^2}.</math>، الذي يساوي هذه المتسلسلة عندما نضع x = 1.<ref>Euler et al., pp.&nbsp;3, 25.</ref>

هناك طرق عديدة لبيان ذلك، على الأقل [[قيمة مطلقة|للقيم المطلقة]] <math>|x| < 1.</math>، فإن أويلر على صواب في ذلك:
: <math>1-2x+3x^2-4x^3+\cdots = \frac{1}{(1+x)^2}.</math>
يمكن إيجاد [[متسلسلة تايلور|مفكوك تايلور]] للجانب الأيمن من المعادلة أو تطبيق طريقة القسمة المطولة لكثيرات الحدود. بدءاً بالجانب الأيسر، يمكن متابعة الحل أعلاه ويمكن الضرب في {{بدون لف|(1 + ''x'')}} مرتين أو [[مربع (جبر)|تربيع]] [[متسلسلة هندسية|المتسلسلة الهندسية]] <math>1-x+x^2-\cdots </math>. اقترح أويلر أيضا اشتقاق المتسلسلة الأخيرة عنصرا عنصرا.<ref>For example, Lavine (p.&nbsp;23) advocates long division but does not carry it out; Vretblad (p.231) calculates the Cauchy product. Euler's advice is vague; see Euler et al., pp.&nbsp;3, 26. [//en.wikipedia.org/wiki/John_C._Baez John Baez] even suggests a category-theoretic method involving multiply [//en.wikipedia.org/wiki/Pointed_set pointed sets] and the [//en.wikipedia.org/wiki/Quantum_harmonic_oscillator quantum harmonic oscillator]. Baez, John C. [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF).] math.ucr.edu (December 19, 2003). Retrieved on March 11, 2007. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121030062527/http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/zeta.pdf |date=30 أكتوبر 2012}}</ref>

وفقا للنظرة الحديثة فإن المتسلسلة <math>1-2x+3x^2-4x^3\cdots </math> ليست مُعرفة [[دالة|كدالة]] عند  {{بدون لف|1=''x'' = 1}}، وبالتالي لا يمكن التعويض بهذه القيمة في تلك العلاقة. وحيث أن الدالة مُعرفة عند كل <math>|x| < 1.</math>، يمكننا أخذ النهاية عندما ''x'' تؤول إلى 1، وهذا هو تعريف «مجموع آبل»:
: <math>\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^\infty n(-x)^{n-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{1}{(1+x)^2} = \frac14.</math>

=== أويلر وبوريل ===
[[ملف:Pm1234_Euler.svg|يسار|تصغير|مجموع أويلر لـ <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>2</sub> − <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>]]
طبق أولير طريقة أخرى على تلك المتسلسلة: [[تحويل ثنائي|تحويل أويلر]] هو واحد من ابتكاراته، ولحساب تحويل أويلر نبدأ بالحدود الموجبة للمتسلسلة وهي {{بدون لف|1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ....}} ونعطي التسمية ''a''<sub>0 </sub> للعنصر الأول.

ثم نحسب [[فرق محدود|الفروق المحدودة]] (forward differences) لهذه الأرقام {{بدون لف|1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...}}، والتي هي {{بدون لف|1 ، 1 ، 1 ، 1 ، ....}} نسمي أول عنصر منها Δ''a''<sub>0</sub>. يعتمد تحويل أويلر على «فروق الفروق»، لكن كل الفروق لـ {{بدون لف|1 ، 1 ، 1 ، 1 ، ...}} هي 0. وبالتالي فإن تحويل أويلر لـ {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} يمكن تعريفه أنه:
: <math>\frac12 a_0-\frac14\Delta a_0 +\frac18\Delta^2 a_0 -\cdots = \frac12-\frac14.</math>
أو يمكن القول أن {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} قابلة للجمع «وفق أويلر» وقيمتها <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>.

قابلية الجمع عند أويلر تتضمن أن {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} هو 
: <math>\sum_{k=0}^\infty a_k = \sum_{k=0}^\infty(-1)^k(k+1),</math>
وهي المعادلة المرتبطة بالمتسلسلات المتقاربة
: <math>a(x) = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k(k+1)x^{k+1}}{(k+1)!} = x\sum_{k=0}^\infty\frac{(-x)^{k}}{k!} = e^{-x}x.</math>
«مجموع بوريل» للمتسلسلة  1 − 2 + 3 − 4 + ...هو:<ref>Weidlich p. 59</ref>
: <math>\int_0^\infty e^{-x}a(x)\,dx = \int_0^\infty e^{-2x}x\,dx = -\frac{\partial}{\partial \beta}\bigg|_2 \int_0^\infty e^{-\beta x}\,dx = -\frac{\partial}{\partial \beta} \bigg|_2\beta^{-1} = \frac{1}{4}.</math>

=== فصل المقاييس Separation of scales ===
توصل سيتشيف وويكشينسكي إلى أن {{بدون لف|1=1 − 2 + 3 − 4 + ... = {{frac|1|4}}}} بتطبيق مبدأين فقط هما: (''infinitesimal relaxation)'' و (''separation of scales)''. وكان هذان المبدأن سببا لتعريف طرق عديدة أطلقا عليها اسم ("''φ''-summation methods")، وجميعها أعطى نفس النتيجة بأن مجموع هذه المتسلسلة هو <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>4</sub>:
* إذا كان (φ(x هي دالة بحيث أن المشتقتين الأولى والثانية لها متصلتان وقابلتان للتكامل على الفترة (0, ∞)، بحيث أن φ(0) = 1 ونهايات (φ(x و (xφ(x عند +∞ هي 0، فإن<ref>Saichev and Woyczyński, pp.260–264.</ref>
:: <math>\lim_{\delta\rightarrow0}\sum_{m=0}^\infty (-1)^m(m+1)\varphi(\delta m) = \frac14.</math>
هذه النتيجة تعتبر تعميم لمجموع آبل، والذي يمكن الحصول عليه عند تساوي كلا من (φ(x و (exp(-x. ويمكن إثبات هذا التعميم بأخذ أزواج من عناصر المتسلسلة على ''m'' وتحويلها إلى [[تكامل ريمان]]. وفق الخطوة الأخيرة فإن الإثبات المناظر لمتسلسلة غراندي {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} يُطبق [[مبرهنة القيمة المتوسطة|مبرهنة القيمة الوسطى]]، لكننا نحتاج صيغة لاجرانج الأقوى من [[متسلسلة تايلور|مبرهنة تايلور]].
== تعميم ==
[[ملف:Pm1234_Euler1755_I-V.png|تصغير|Excerpt from p.233 of the ''E212&nbsp;— Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum''. Euler sums similar series, ca. 1755.]]
مضروب كوشي الثلاثي (threefold) للمتسلسلة {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} هو {{بدون لف|1 − 3 + 6 − 10 + ...،}} وهي متسلسلة مترددة من [[عدد مثلثي|الأعداد المثلثية]]، والتي مجموعها وفق «آبل» و «أويلر» هو <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>8</sub>.<ref>Kline, p.313.</ref> مضروب كوشي الرباعي (fourfold)  لـ {{بدون لف|1 − 1 + 1 − 1 + ...}} هو {{بدون لف|1 − 4 + 10 − 20 + ...،}} وهي متسلسلة مترددة من [[عدد هرمي ثلاثي|الأعداد الهرمية الثلاثية]]. ومجموع آبل لها هو <sup>1</sup>'''⁄'''<sub>16</sub>.

تعميم آخر للمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... بطريقة أخرى للمتسلسلة <math>1-2^{n}+3^{n}-\cdots </math> لقيم أخرى لـ ''n''.

لقيم ''n الصحيحة،'' يكون لهذه المتسلسة مجاميع آبل التالية:<ref>Hardy, p.3; Knopp, p.491.</ref>
: <math>1-2^{n}+3^{n}-\cdots = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}B_{n+1}</math>
حيث ''B''<sub>''n''</sub> هي [[عدد برنولي|أعداد بيرنولي]].

لقيم ''n الزوجية،'' يُختصر ذلك إلى
: <math>1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots = 0.</math>
وهذا المجموع الأخير كان مثارا للسخرية من آبل في عام  1826، حيث قال: المتسلسلات المتباعدة هي من عمل الشيطان، وإنه لمن العار أن يجرؤ أحد للبحث عن إثبات لها. يمكن للمرء أن يُخرج منها ما يريده إذا استخدمهم، وهي التي تجلب الكثير من التعاسة والكثير من المفارقات. هل يمكن للمرء أن يفكر في أي شيء أكثر رعبا من القول بأن <math>1-2^{n}+3^{n}-\cdots = 0</math>، حيث n هو رقم موجب. إنه شيء يدعو للضحك يا أصدقائي.<ref>Grattan-Guinness, p.80. See Markushevich, p.48, for a different translation from the original [[اللغة الفرنسية|لغة فرنسية]]; the tone remains the same.</ref>

كان [[أوجين شارل كاتالان]]، مُعلم سيزارو، يستخف بالمتسلسلة المتباعدة. وبتأثير كاتالان، أشار سيزارو في البداية إلى «الصيغ التقليدية» للمتسلسلة <math>1-2^{n}+3^{n}-\cdots</math> هي «معادلات سخيفة»، وفي عام 1883 أعرب سيزارو عن وجهة نظر نموذجية لذلك الوقت بأن تلك الصيغ كانت خطأ ولكنها لا تزال بطريقة أو بأخرى مفيدة رسميا. وأخيرا، في عام 1890، اتخذ سيزارو نهجا حديثا بدءا من التعاريف، وقام بنشره في (Sur la multiplication des séries).<ref>Ferraro, pp.120–128.</ref>

تم دراسة المتسلسلات لقيم ''n [[كسر (رياضيات)|غير الصحيحة]]،'' فنتج عنها <nowiki/>[[دالة إيتا لدركليه]]. كانت [[معادلة دالية|المعادلة الدالية]] لـ«دالة إيتا» هي أحد دوافع أويلر لدراسة المتسلسلات المتعلقة بـ {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}}، والتي أدت مباشرةً إلى المعادلة الدالية لـ <nowiki/>[[دالة زيتا لريمان]]. فقد أصبح أويلر مشهورا بإيجاد قيم هذه الدوال عند الأعداد الصحيحة الزوجية (بما في ذلك [[معضلة بازل]])، وحاول إيجاد القيم عند الأعداد الصحيحة الفردية (بما في ذلك <nowiki/>[[ثابتة أبيري]]) أيضا، وهي مشكلة لم تحل حتى الآن. يمكن التعامل مع دالة إيتا بسهولة بطرق أويلر لأن [[متسلسلة دركليه]] قابلة للجمع وفق آبل; بينما دالة زيتا لدركليه يصعب جمعها إذا كانت متباعدة.<ref>Euler et al., pp.20–25.</ref> على سبيل المثال فإن المقابل للمتسلسلة {{بدون لف|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} في دالة زيتا هي المتسلسلة (غير المترددة) {{بدون لف|[[1 + 2 + 3 + 4 + · · ·|1 + 2 + 3 + 4 + ...]]}}, والتي لها تطبيقات هامة في الفيزياء الحديثة لكنها تحتاج طرق أكثر قوة لجمعها.
== المراجع ==
{{مراجع|30em}}
== المصادر ==
{{بداية المراجع}}
* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Beals |الأول=Richard |وصلة مؤلف=Richard Beals (mathematician) |عنوان=Analysis: An Introduction |سنة=2004 |ناشر=Cambridge UP |isbn= 0-521-60047-2}}
* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Davis |الأول=Harry F. |عنوان=Fourier Series and Orthogonal Functions |مسار=https://archive.org/details/fourierseriesort00unse |ناشر=Dover |isbn= 0-486-65973-9|تاريخ=May  1989}}
* {{استشهاد ويب |الأخير1=Euler |الأول1=Leonhard |الأخير2=Willis |الأول2=Lucas |الأخير3=Osler |الأول3=Thomas J. |عنوان=Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series |سنة=2006 |ناشر=The Euler Archive |مسار= http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E352.html |تاريخ الوصول=2007-03-22|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20150911031625/https://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E352.html|تاريخ أرشيف=2015-09-11}} Originally published as {{استشهاد بدورية محكمة |الأخير=Euler |الأول=Leonhard |عنوان=Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques |صحيفة=Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin |سنة=1768 |المجلد=17 |صفحات=83–106}}
* {{استشهاد بدورية محكمة |الأخير=Ferraro |الأول=Giovanni |عنوان=The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics |صحيفة=Archive for History of Exact Sciences |المجلد=54 |العدد=2 |صفحات=101–135 |doi=10.1007/s004070050036|تاريخ=June  1999}}
* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Grattan-Guinness |وصلة مؤلف=Ivor Grattan-Guinness |الأول=Ivor |سنة=1970 |عنوان=The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann |ناشر=MIT Press |isbn= 0-262-07034-0}}
* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Hardy |الأول=G. H. |وصلة مؤلف=G. H. Hardy |عنوان=Divergent Series |مسار=https://archive.org/details/dli.ernet.285939 |سنة=1949 |ناشر=Clarendon Press |lccn=49005496 |oclc=808787 |mr=0030620 |صفحات=xvi+396 |isbn=978-0-8218-2649-2 |no-pp=true}} 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. {{lccn|91075377}}. {{ردمك|0-8284-0334-1}}.
* {{استشهاد بدورية محكمة |doi=10.2307/2690371 |الأخير=Kline |الأول=Morris |وصلة مؤلف=Morris Kline |عنوان=Euler and Infinite Series |صحيفة=Mathematics Magazine |المجلد=56 |العدد=5 |صفحات=307–314 |jstor=2690371|تاريخ=November  1983}}
* {{استشهاد بكتاب |الأول=Shaughan |الأخير=Lavine |عنوان=Understanding the Infinite |مسار=https://archive.org/details/understandinginf0000lavi |سنة=1994 |ناشر=Harvard UP |isbn= 0-674-92096-1}}
* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Markusevič |الأول=Aleksej Ivanovič |عنوان=Series: fundamental concepts with historical exposition |سنة=1967 |طبعة=English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian |ناشر=Hindustan Pub. Corp.|lccn=sa68017528 |صفحة=176 |oclc=729238507 | مكان =Delhi, India}} Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with {{OCLC|474456247}}. Additionally, {{OCLC|208730}}, {{OCLC|487226828}}.
* {{استشهاد بكتاب |الأخير1=Saichev |الأول1=A.I. |الأخير2=Woyczyński |الأول2=W.A. |last-author-amp =yes |عنوان=Distributions in the Physical and Engineering Sciences, Volume 1 |ناشر=Birkhaüser |سنة=1996 |isbn= 0-8176-3924-1}}
* {{استشهاد بدورية محكمة |الأخير=Tucciarone |الأول=John |عنوان=The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925 |صحيفة=Archive for History of Exact Sciences |المجلد=10 |العدد=1–2 |صفحات=1–40 |doi=10.1007/BF00343405|تاريخ=January 1973}}
* {{استشهاد بكتاب |الأول=Anders |الأخير=Vretblad |عنوان=Fourier Analysis and Its Applications |سنة=2003 |ناشر=Springer |isbn= 0-387-00836-5}}
* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Weidlich |الأول=John E. |عنوان=Summability methods for divergent series |ناشر=Stanford M.S. theses |oclc=38624384|تاريخ=June 1950}}
{{نهاية المراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}

[[تصنيف:متسلسلات]]
[[تصنيف:متسلسلات متباعدة]]
[[تصنيف:مفارقات رياضية]]