هرم باسكال

في الرياضيات، هرم باسكال (بالإنجليزية: Pascal's pyramid)‏ هو ترتيب ثلاثي الأبعاد للأعداد الثلاثية وهي معاملات المبرهنة الثلاثية و التوزيع ثلاثي الحدود. هرم باسكال هو نظير ثلاثي الأبعاد لمثلث باسكال ثنائي الأبعاد، والذي يحتوي على الأعداد الثنائية و يرتبط بالمبرهنة الثنائية و التوزيع ثنائي الحدين.

سمي هذا الهرم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال.

المعاملات الثلاثية

تقديمها وأهميتها

المعاملات الثلاثية تكتب على الشكل $(\binom{n}{i, j, k})$ حيث $(i, j, k)$ مثلوث أعداد صحيحة طبيعية (موجبة) و $n = i + j + k$ . و هي معرفة بالصيغة $(\binom{n}{i, j, k}) = \frac{n!}{i! j! k!}$ و نجدها في الحالات التالية:

في الجبر.
في التعداد.
في الإحصاء.

العلاقة بين المعاملات الثلاثية وهرم باسكال

$(\binom{n}{i, j, k}) = (\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1})$ ، و هو صحيح لكل مثلوث $(i, j, k)$ من الأعداد الصحيحة الطبيعية حيث $n = i + j + k$ . تظل هذه القاعدة صحيحة في الحالاتi ، j أو k يساوي 0، بشرط أن يكون : $(\binom{n^{'}}{i^{'}, j^{'}, k^{'}}) = 0$ إذا كان $i^{'} \leq - 1$ أو $j^{'} \leq - 1$ أو $k^{'} \leq - 1$ و $n^{'} = i^{'} + j^{'} + k^{'} \geq 0$ .

البرهان

$(\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1}) = \frac{(n - 1)!}{(i - 1)! j! k!} + \frac{(n - 1)!}{i! (j - 1)! k!} + \frac{(n - 1)!}{i! j! (k - 1)!}$

لهذه الغاية نعمل بالقيمة !(n-1)، ثم نوحد مقامات الحدود الثلاثة بملاحظة أن $\frac{1}{(i - 1)!} = \frac{i}{i!}$ ، وبالتالي فإن المقام المشترك هو $i! j! k!$

وهكذا : $(\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1}) = \frac{(n - 1)!}{i! j! k!} (i + j + k)$

و الحال أن $n = i + j + k$ و $(n - 1)! n = n!$ و بالتالي : $(\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1}) = \frac{n!}{i! j! k!} = (\binom{n}{i, j, k})$

انظر أيضا

مراجع

وصلات خارجية

(بالإنجليزية) Beyond Flatland: Geometry for the 21st Century. PART I: Pascal's Tetrahedron
(بالإنجليزية) Pascal's Simplices exposés sur le triangle de Pascal, la pyramide de Pascal, et davantage.

بوابة رياضيات

هرم باسكال

محتويات

المعاملات الثلاثية

تقديمها وأهميتها

العلاقة بين المعاملات الثلاثية وهرم باسكال

البرهان

انظر أيضا

مراجع

وصلات خارجية

قائمة التصفح

هرم باسكال

المعاملات الثلاثية

تقديمها وأهميتها

العلاقة بين المعاملات الثلاثية وهرم باسكال

البرهان

انظر أيضا

مراجع

وصلات خارجية

قائمة التصفح

بحث