صيغة كوشي التكاملية

  ميّز عن مبرهنة التكامل لكوشي.

  ميّز عن صيغة كوشي للتكامل المتكرر.

في التحليل المركب، تنص صيغة كوشي التكاملية (بالإنجليزية: Cauchy's integral formula)‏ على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي.

المبرهنة

ليكن U مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي C وليكن القرص المنغلق D المعرف كما يلي:

$D=\{z:|z-z_0|\le r\}$

ضمن المجموعة U بشكل كامل.

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz$

$\frac{1}{z-a}=\frac{1+\frac{a}{z}+{(\frac{a}{z})}^2+\cdots }{z}$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz.$

مثال

المساحة (أو السطح) الممثلة للجزء الحقيقي للدالة g(z) = z² / (z² + 2z + 2) and its singularities, with the contours الموصوفة في النص.

لتكن الدالة

$g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}$,

$g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}$

النتائج

انظر إلى نعومة دالة.

$f(\zeta )=\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{f(z)}{z-\zeta }dz.$

انظر أيضا

• معادلات كوشي-ريمان