مبرهنة فيرما الصغرى

مبرهنة فيرما الصغرى

من أجل مبرهنات أخرى مسماة نسبة إلى بيير دي فيرما، انظر إلى مبرهنة فيرما (توضيح).

مبرهنة فيرما الصغرى (بالإنجليزية: Fermat's little theorem)‏ هي مبرهنة تنص على أنه إذا كان p عددا أوليا، فإنه ولأي عدد صحيح a ،تكون a^p - a قابلة للقسمة على p،ويمكن كتابتها رياضياتيا بالعلاقة:

$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$

سميت المبرهنة بهذا الاسم لتمييزها عن مبرهنة فيرما الأخيرة. بعبارة أخرى، إذا أخذ عدد a وضرب في نفسه p مرة ثم طرح منه a فالعدد الناتج من هذه العمليات يقبل القسمة على p.

يمكن أيضاً كتابة العلاقة السابقة بالصورة:

$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$ إذا كان $p|a$ .

مبرهنة فيرما الصغرى

ليكن p عددا اوليا موجبا

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}):n^p\equiv n[p]$

     ملاحظة :مبرهنة فيرما الصغرى تضل صالحة في $\mathbb{Z}$

نتيجة مبرهنة فيرما الصغرى

ليكن p عددا اوليا موجبا

إذا كان $n\wedge p=1$ فإن $(\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}):n^{p-1}\equiv 1[p]$

البرهنة

سنثبت النظرية باستخدام الاستقراء الرياضي لكل الأعداد الصحيحة الموجبة a ≥ 0. خطوة الأساس هي حينما 0 ^p ≡ 0 (mod p) صحيحة لأنها صحيحة للأعداد الصحيحة. ثم نثبتها لـa = k ومنها ننطلق لـa = k+1. ولهذه الخطوة سنحتاج إلى الاستدلال:

استدلال

لأي عدد أولي p فإن

$(x+y{)}^p\equiv x^p+y^p(\mathrm{mod}p).$

لبرهنة الاستدلال سنحتاج إلى تقديم نظرية ذات الحدين والتي تنص على أنه لأي عدد صحيح n

$(x+y{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^{n-i}{y}^i,$

حيث المعاملات معاملات ذات الحدين
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=\frac{n!}{i!(n-i)!},$

والتي يمكن كتابتها بصيغة المضروب

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=\frac{n!}{i!(n-i)!},$

و حيث أن جميع المعاملات أعداد صحيحة وحين 0 < p > i فإنه لايوجد قاسم لـp في المقام، وبالتالي فإن المعامل يحتوي على قاسم p في البسط وبالتالي

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{i})\equiv 0(\mathrm{mod}p),0<i<p.$
وهذا يقصي جميع الحدود ماعدا الحدين الأول والأخير .

البرهان بالاستقراء

لنفرض أن (k^p ≡ k (mod p و لننظر لـk+1)^p) من الاستدلال لدينا

$(k+1{)}^p\equiv k^p+1^p(\mathrm{mod}p).$

وباستخدام نظرية الاستقراء لدينا (k^p ≡ k (mod p; وببساطة 1^p = 1

وبالتالي نحصل على $(k+1{)}^p\equiv k+1(\mathrm{mod}p)$

وهو مانريد إثباته a = k+1. ∎

عموميات

إذا كان p' عددا أوليا وكان m وn عددين صحيحين طبيعيين حيث m يوافق n بترديد p-1, فإن لكل عدد صحيح ؟ لدينا: a^m ≡ aⁿ (بترديد p). (≡ يوافق بترديد)

انظر أيضا

• خوارزمية آر إس إيه.

وصلات خارجية

• مبرهنة فيرما الصغرى.
• دالة ومبرهنة أويلر.