هرم باسكال

في الرياضيات، هرم باسكال (بالإنجليزية: Pascal's pyramid)‏ هو ترتيب ثلاثي الأبعاد للأعداد الثلاثية وهي معاملات المبرهنة الثلاثية و التوزيع ثلاثي الحدود. هرم باسكال هو نظير ثلاثي الأبعاد لمثلث باسكال ثنائي الأبعاد، والذي يحتوي على الأعداد الثنائية و يرتبط بالمبرهنة الثنائية و التوزيع ثنائي الحدين.

سمي هذا الهرم هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي بليز باسكال.

المعاملات الثلاثية

تقديمها وأهميتها

المعاملات الثلاثية تكتب على الشكل $(\binom{n}{i, j, k})$ حيث $(i, j, k)$ مثلوث أعداد صحيحة طبيعية (موجبة) و $n = i + j + k$ . و هي معرفة بالصيغة $(\binom{n}{i, j, k}) = \frac{n!}{i! j! k!}$ و نجدها في الحالات التالية:

في الجبر.
في التعداد.
في الإحصاء.

العلاقة بين المعاملات الثلاثية وهرم باسكال

$(\binom{n}{i, j, k}) = (\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1})$ ، و هو صحيح لكل مثلوث $(i, j, k)$ من الأعداد الصحيحة الطبيعية حيث $n = i + j + k$ . تظل هذه القاعدة صحيحة في الحالاتi ، j أو k يساوي 0، بشرط أن يكون : $(\binom{n^{'}}{i^{'}, j^{'}, k^{'}}) = 0$ إذا كان $i^{'} \leq - 1$ أو $j^{'} \leq - 1$ أو $k^{'} \leq - 1$ و $n^{'} = i^{'} + j^{'} + k^{'} \geq 0$ .

البرهان

$(\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1}) = \frac{(n - 1)!}{(i - 1)! j! k!} + \frac{(n - 1)!}{i! (j - 1)! k!} + \frac{(n - 1)!}{i! j! (k - 1)!}$

لهذه الغاية نعمل بالقيمة !(n-1)، ثم نوحد مقامات الحدود الثلاثة بملاحظة أن $\frac{1}{(i - 1)!} = \frac{i}{i!}$ ، وبالتالي فإن المقام المشترك هو $i! j! k!$

وهكذا : $(\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1}) = \frac{(n - 1)!}{i! j! k!} (i + j + k)$

و الحال أن $n = i + j + k$ و $(n - 1)! n = n!$ و بالتالي : $(\binom{n - 1}{i - 1, j, k}) + (\binom{n - 1}{i, j - 1, k}) + (\binom{n - 1}{i, j, k - 1}) = \frac{n!}{i! j! k!} = (\binom{n}{i, j, k})$

انظر أيضا

مراجع

وصلات خارجية

(بالإنجليزية) Beyond Flatland: Geometry for the 21st Century. PART I: Pascal's Tetrahedron
(بالإنجليزية) Pascal's Simplices exposés sur le triangle de Pascal, la pyramide de Pascal, et davantage.

بوابة رياضيات