مصفوفة ياكوبية (بالإنجليزية: Jacobian matrix)‏ هي مصفوفة تعبر عن مشتق متجه من الدالات ولها أهمية كبيرة في الرياضيات والهندسة خاصة في إخطاط الأنظمة اللاخطية ودراستها وفي الرياضيات العددية.[1][2]

المحددة الياكوبية (والتي تسمى على سبيل التبسيط بالياكوبية) هي محدد المصفوفة الياكوبية.

سُميت هذه المفاهيم هكذا نسبة لعالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.

أمثلة

المثال الأول

لتكن الدالة f : ℝ2 → ℝ2 المعرفة كما يلي

f(x,y)=[x2y5x+siny].

إذن

f1(x,y)=x2y

و

f2(x,y)=5x+siny

والمصفوفة الياكوبية ل F هي

Jf(x,y)=[[1em]f2x]=[2xyx25cosy]

أما المحددة الجاكوبية فهي

det(Jf(x,y))=2xycosy5x2.

المثال الثاني : التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية

التحويل من نظام إحداثي قطبي (r, φ) إلى نظام إحداثي ديكارتي (x, y), توفره الدالة التالية F: ℝ+ × [0, 2π) → ℝ2 حيث:

x=rcosφ;y=rsinφ.
JF(r,φ)=[[1em]yr]=[cosφrsinφsinφrcosφ]

المحددة الياكوبية تساوي r. هذا التساوي يستعمل من أجل تحويل التكاملات من نظام إحداثيات إلى آخر:

F(A)f(x,y)dxdy=Af(rcosφ,rsinφ)rdrdφ.

المراجع

  1. ^ Arrowsmith، D. K.؛ Place، C. M. (1992). "The Linearization Theorem". Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. ص. 77–81. ISBN:0-412-39080-9.
  2. ^ Mathworld نسخة محفوظة 03 نوفمبر 2017 على موقع واي باك مشين.