متسلسلة متداخلة

في الرياضيات ، المتسلسة المتداخلة هي متسلسة، تكتب على شكل $t_n$ بحيث $t_n=a_n-a_{n+1}$ ، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية $(a_n)$ .

نتيجة لذلك ، تتكون المجاميع الجزئية فقط من عبارتين من المتتالية $(a_n)$ بعد أن يلغيا بعضهما.

على سبيل المثال ، المتسلسلة :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

(مجموع مقلوبات الأعداد البرونية ) يمكن أن تبسط كالآتي :

$\begin{array}{rr}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}[1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}[1-\frac{1}{N+1}]=1.\end{array}$

تعميم

متسلسلة متداخلة من القوى

المجاميع المتداخلة هي مجاميع محدودة تلغي فيها العبارات المتتالية بعضها البعض ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.

لتكن

$a_n$

متسلسلة من الأعداد. إذاً،

$\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n-1})=a_N-a_0$

إذا كانت

$a_n\to 0$

، فإن :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a_{n-1})=-a_0$

الجداءات المتداخلة هي جداءات محدودة حيث تلغي العبارات المتتالية المقام بالبسط ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية. لتكن

$a_n$

متسلسلة من الأعداد. إذاً،

$\prod _{n=1}^N\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_0}{a_N}$

إذا كانت

$a_n\to 1$

، فإن :

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_{n-1}}{a_n}=a_0$

أمثلة أخرى

• يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية كفرق بين مجموعة من العبارات ، مما يسمح بالإلغاء بين العبارات المتتالية.

$\begin{array}{rr}\sum _{n=1}^N\sin (n)& =\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}\csc (\frac{1}{2})(2\sin (\frac{1}{2})\sin (n))\\ & =\frac{1}{2}\csc (\frac{1}{2})\sum _{n=1}^N(\cos (\frac{2n-1}{2})-\cos (\frac{2n+1}{2}))\\ & =\frac{1}{2}\csc (\frac{1}{2})(\cos (\frac{1}{2})-\cos (\frac{2N+1}{2})).\end{array}$

• بعض المجاميع تحت الشكل الآتي :

$\sum _{n=1}^N\frac{f(n)}{g(n)}$

بحيث

$f$

و

$g$

هم دوال متعددة الحدود يمكن تقسيم كسرهما إلى كسور جزئية ،  هذه الطريقة لا تستوفي الجمع. على وجه الخصوص :

$\begin{array}{rr}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}=& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ =& (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots \\ & \cdots +(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})+\cdots \\ =& \mathrm{\infty }.\end{array}$

المشكلة هي أنه هنا العبارات لا تلغي بعضها البعض.