قانون القيم المتوقعة الكلية

الافتراض في نظرية الاحتمالات المعروف باسم قانون التوقع الكلي ، ^[1] قانون التوقعات المتكررة ^[2] ( LIE ) ، وقانون آدم ، ^[3] قاعدة البرج ، ^[4] ونظرية التنعيم ، ^[5] من بين أسماء أخرى ، تنص على أنه إذا $X$ هو متغير عشوائي قيمته المتوقعة $E (X)$ يتم تعريفه و $Y$ هو أي متغير عشوائي على نفس فضاء احتمالي ، إذن

E (X) = E (E (X ∣ Y)),

على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة للقيمة المتوقعة المشروطة لـ $X$ معطى $Y$ هي نفس القيمة المتوقعة لـ $X$ .

حالة خاصة واحدة تنص على أنه إذا ${A_{i}}_{i}$ هو قسم منتهي أو معدود من فضاء العينة ، إذن

E (X) = \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) .

ملاحظة: القيمة المتوقعة المشروطة E ( X | Z ) هي متغير عشوائي تعتمد قيمته على قيمة Z. لاحظ أن القيمة المتوقعة المشروطة لـ X بالنظر إلى الحدث Z = z هي دالة لـ z . إذا كتبنا E ( X | Z = z ) = g ( z ) فإن المتغير العشوائي E ( X | Z ) هو g ( Z ). تنطبق تعليقات مماثلة على التغاير الشرطي.

مثال

لنفترض أن هناك مصنعين فقط يزودان السوق بمصابيح كهربائية . مصنع $X$ تعمل المصابيح لمدة 5000 ساعة في المتوسط ، في حين أن المصنع $Y$ تعمل المصابيح لمدة 4000 ساعة في المتوسط. من المعروف أن المصنع $X$ تزود 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي المدة المتوقعة التي ستعمل فيها لمبة تم شراؤها؟

بتطبيق قانون التوقع الكلي ، لدينا:

\begin{array}{r} E (L) & = E (L ∣ X) P (X) + E (L ∣ Y) P (Y) \\ [3 p t] & = 5000 (0.6) + 4000 (0.4) \\ [2 p t] & = 4600 \end{array}

بحيث أن:

$E (L)$ هي العمر المتوقع للمصباح ؛
$P (X) = \frac{6}{10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع $X$ ؛
$P (Y) = \frac{4}{10}$ هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع $Y$ ؛
$E (L ∣ X) = 5000$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة $X$ ؛
$E (L ∣ Y) = 4000$ هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة $Y$ .

وبالتالي فإن عمر كل مصباح كهربائي يتم شراؤه يبلغ 4600 ساعة.

الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة

دع المتغيرات العشوائية $X$ و $Y$ ، المعرفة على نفس فضاء الاحتمال ، تفترض مجموعة منتهية أو لا حصر لها من القيم المنتهية. افترض أن $E [X]$ يتم تعريفه ، أي $min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty$ . إذا ${A_{i}}$ هو قسم من فضاء الاحتمال $Ω$ ، ومن بعد

E (X) = \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) .

برهان - إثبات.

\begin{array}{r} E (E (X ∣ Y)) & = E [\sum_{x} x \cdot P (X = x ∣ Y)] \\ [6 p t] & = \sum_{y} [\sum_{x} x \cdot P (X = x ∣ Y = y)] \cdot P (Y = y) \\ [6 p t] & = \sum_{y} \sum_{x} x \cdot P (X = x, Y = y) . \end{array}

إذا كانت السلسلة منتهية ، فيمكننا تبديل التجميعات ، وسيصبح التعبير السابق

\begin{array}{r} \sum_{x} \sum_{y} x \cdot P (X = x, Y = y) & = \sum_{x} x \sum_{y} P (X = x, Y = y) \\ [6 p t] & = \sum_{x} x \cdot P (X = x) \\ [6 p t] & = E (X) . \end{array}

من ناحية أخرى ، إذا كانت السلسلة لا نهائية ، فلا يمكن أن يكون تقاربها مشروطًا ، نظرًا لافتراض أن $min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty .$ السلسلة تتقارب تمامًا إذا كان كلاهما $E [X_{+}]$ و $E [X_{-}]$ منتهية ، وتتباعد إلى ما لا نهاية عند أي منهما $E [X_{+}]$ أو $E [X_{-}]$ لانهائية. في كلا السيناريوهين ، يمكن تبادل الملخصات أعلاه دون التأثير على المجموع.

يترك $(Ω, F, P)$ تكون فضاء احتمالية يكون فيها جبران فرعيان $G_{1} \subseteq G_{2} \subseteq F$ يتم تعريفها. لمتغير عشوائي $X$ في مثل هذه الفضاء ، ينص قانون التنعيم على أنه إذا $E [X]$ يتم تعريفه ، أي $min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty$ ، ومن بعد

E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] = E [X ∣ G_{1}] (a.s.) .

إثبات . نظرًا لأن التوقع المشروط هو أحد مشتقات Radon-Nikodym ، فإن التحقق من الخواص التالية يؤسس قانون التسوية:

$E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] is G_{1}$ - قابل للقياس
$\int_{G_{1}} E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] d P = \int_{G_{1}} X d P,$ للجميع $G_{1} \in G_{1} .$

أول هذه الخصائص تحمل من خلال تعريف التوقع الشرطي. لإثبات الثانية ،

\begin{array}{r} min (\int_{G_{1}} X_{+} d P, \int_{G_{1}} X_{-} d P) & \leq min (\int_{Ω} X_{+} d P, \int_{Ω} X_{-} d P) \\ [4 p t] & = min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty, \end{array}

لذلك لا يتجزأ $\int_{G_{1}} X d P$ تم تعريفه (لا يساوي $\infty - \infty$ ).

وهكذا فإن الخاصية الثانية قائمة منذ ذلك الحين $G_{1} \in G_{1} \subseteq G_{2}$ يدل

\int_{G_{1}} E [E [X ∣ G_{2}] ∣ G_{1}] d P = \int_{G_{1}} E [X ∣ G_{2}] d P = \int_{G_{1}} X d P .

اللازمة - النتيجة. في حالة خاصة عندما $G_{1} = {\emptyset, Ω}$ و $G_{2} = σ (Y)$ ، فإن قانون التجانس يخفض إلى

E [E [X ∣ Y]] = E [X] .

برهان بديل ل $E [E [X ∣ Y]] = E [X] .$

هذه نتيجة بسيطة لتعريف القياس النظري للتوقع المشروط . حسب التعريف، $E [X ∣ Y] : = E [X ∣ σ (Y)]$ هو $σ (Y)$ - متغير عشوائي قابل للقياس يرضي

\int_{A} E [X ∣ Y] d P = \int_{A} X d P,

لكل مجموعة قابلة للقياس $A \in σ (Y)$ . مع الأخذ $A = Ω$ يثبت المطالبة.

إثبات صيغة التقسيم

\begin{array}{r} \sum \limits_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) & = \sum \limits_{i} \int \limits_{Ω} X (ω) P (d ω ∣ A_{i}) \cdot P (A_{i}) \\ = \sum \limits_{i} \int \limits_{Ω} X (ω) P (d ω \cap A_{i}) \\ = \sum \limits_{i} \int \limits_{Ω} X (ω) I_{A_{i}} (ω) P (d ω) \\ = \sum \limits_{i} E (X I_{A_{i}}), \end{array}

حيث $I_{A_{i}}$ هي وظيفة المؤشر للمجموعة $A_{i}$ .

إذا كان التقسيم ${_{A_{i}}^{}}$ منتهي ، إذن ، بالخطية ، يصبح التعبير السابق

E (\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}) = E (X),

وانتهينا.

إذا ، ومع ذلك ، فإن القسم ${_{A_{i}}^{}}$ لانهائية ، ثم نستخدم مبرهنة التقارب المحدود لإظهار ذلك

E (\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}) \to E (X) .

في الواقع ، لكل $n \geq 0$ و

| \sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}} | \leq | X | I_{⋃ \limits_{i = 0}^{n} A_{i}} \leq | X | .

منذ كل عنصر من عناصر المجموعة $Ω$ يقع في قسم معين $A_{i}$ ، فمن السهل التحقق من أن التسلسل ${\sum_{i = 0}^{n} X I_{A_{i}}}_{n = 0}^{\infty}$ يتقارب بشكل نقطي إلى $X$ . بالافتراض الأولي ، $E | X | < \infty$ . يؤدي تطبيق نظرية التقارب المهيمن إلى النتيجة المرجوة.

أنظر أيضا

قانون الاحتمالات الكلية

مراجع

^ Weiss، Neil A. (2005). A Course in Probability. Boston: Addison–Wesley. ص. 380–383. ISBN:0-321-18954-X.
^ "Law of Iterated Expectation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بen-us). Archived from the original on 2023-03-28. Retrieved 2018-03-28.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: لغة غير مدعومة (link)
^ "Adam's and Eve's Laws". مؤرشف من الأصل في 2022-11-11. اطلع عليه بتاريخ 2022-04-19.
^ Rhee، Chang-han (20 سبتمبر 2011). "Probability and Statistics" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.^{[وصلة مكسورة]}
^ Wolpert، Robert (18 نوفمبر 2010). "Conditional Expectation" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.

Billingsley، Patrick (1995). Probability and measure. New York: John Wiley & Sons. ISBN:0-471-00710-2. (Theorem 34.4)
Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

[1] Weiss، Neil A. (2005). A Course in Probability. Boston: Addison–Wesley. ص. 380–383. ISBN:0-321-18954-X.

[2] "Law of Iterated Expectation | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (بen-us). Archived from the original on 2023-03-28. Retrieved 2018-03-28.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: لغة غير مدعومة (link)

[3] "Adam's and Eve's Laws". مؤرشف من الأصل في 2022-11-11. اطلع عليه بتاريخ 2022-04-19.

[4] Rhee، Chang-han (20 سبتمبر 2011). "Probability and Statistics" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.^{[وصلة مكسورة]}

[5] Wolpert، Robert (18 نوفمبر 2010). "Conditional Expectation" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

وصلة مكسورة