طريقة بيزو

طريقة بيزو هي طريقة عامة لحل المعادلات الجبرية، من تطوير إيتيان بيزو عام 1762.

تحاول هذه الطريقة إرجاع المعادلة المرادة إلى معادلات من درجة أقل. هذه الطريقة المملة تفشل بصفة أكيدة في المعادلات من الدرجة الخامسة فما فوق لأن زمرة غالوا عندها لاتقبل الحل. مع ذلك فإنها مفيدة في حل معادلات الدرجة الثالثة.

مبدأ الطريقة

نعتبر معادلة من الدرجة $n$ :

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$

ليكن $r$ جذرا أوليا من الرتبة $n$ للوحدة.

نعلم أن ال $n$ جذرا من الرتبة $n$ للوحدة 1, $r$ , $r 2$ ,…, $r n -1$ تحقق العلاقة:

$1 + r + r^{2} + \dots + r^{n - 1} = 0$

طريقة بيزو تبحث عن جذور المعادلة المدروسة في شكل توليفات خطية للجذور من الرتبة $n$ للوحدة.

$x = b_{0} + b_{1} r + b_{2} r^{2} + \dots + b_{n - 1} r^{n - 1}$

لهذا السبب نشرع في حذف $r$ بين العلاقتين:

$1 + r + r^{2} + \dots + r^{n - 1} = 0$

$x = b_{0} + b_{1} r + b_{2} r^{2} + \dots + b_{n - 1} r^{n - 1}$

مما يعطى معادلة من الدرجة $n$ في $x$ معاملاتها تعبيرات بدلالة $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n - 1}$ . بمساواة هذه المعاملات وتلك الخاصة بالمعادلة المرادة نحصل على نظام من معادلات في المجاهيل $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n - 1}$ والذي بعد حله ونقل مختلف الحلول إلى:

$x = b_{0} + b_{1} r + b_{2} r^{2} + \dots + b_{n - 1} r^{n - 1}$

يعطينا الحلول المبحوثة.

تطبيق الطريقة لحل المعادلات التكعيبية

سنطبق الطريقة على المثال التالي:

$6 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 7 = 0$

نضع:

$j = e^{\frac{2 i π}{3}}$

$j$ جذر مكعب للوحدة ويحقق إذن:

$j^{3} = 1$

نبحث عن الجذور على شكل

$x = a + b j + c j^{2} (*)$

نحذف $j$ بين المعادلتين الاخيرتين، نضعهما

${\begin{matrix} j^{3} = 1 \\ x - a - b j = c j^{2} \end{matrix}$

طرق أخرى لحل المعادلات

وصلات خارجية

Texte de Bézout (1764) sur la résolution des équations algébriques, en ligne et commenté sur Bibnum.