زمرة غالوا

في الرياضيات، وبالتحديد في فرع من فروع الجبر التجريدي يسمى نظرية غالوا، زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group)‏ لصنف معين من امتدادات الحقول هو زمرة معينة...

ليكن $L$ حقل امتداد $K$ ويُرمز لها بـ$L/K$، وليكن $G$ مجموعة التماثلات الذاتية لـ$L/K$، أو بعبارة أخرى لنأخذ مجموعة التماثلات الذاتية $\sigma$ من $L$ حيث $\sigma (x)=x$ لكل $x\in K$، فبالتالي تكون $K$ محددة. فالزمرة $G$ هي زمرة تحاويل $L$ وتسمى زمرة غالوا (بالإنجليزية: Galois group)‏ لـ$L/K$، ويُرمز لها بـ$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)$ أو $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(L/K)$.

ليكن $f(x)$ متعددة حدود كسرية من الدرجة $n$ ودع $K$ حقل انشطار $f(x)$ على $\mathbb{Q}$، أي أن الحقل الجزئي الأصغر من $\mathbb{C}$ يضم كل جذور $f$. وبالتالي فكل عنصر من عناصر زمرة غالوا $G$ يبدل جذور $f$ بطريقة فريدة. وبالتالي يمكن تعريف $G$ زمرةً جزئية من الزمرة المتماثلة $S_n$، وهي زمرة تباديل جذور $f$. إذا كانت $f$ غير قابلة للاختزال، تكون $G$ زمرة جزئية متعدية من $S_n$، أي أنه بإعطاء الجذرين $\alpha$ و $\beta$ لـ$f$، يوجد عنصر $\sigma$ من $G$ حيث يكون $\sigma (\alpha )=\beta$.