حلقة قسمة
حلقة قسمة[1]، وتسمى أيضًا حقل متخالف[2] (بالإنجليزية: skew field)، في الجبر هي حلقة يمكن فيها إجراء عملية القسمة. بشكل أكثر تحديدًا، هي حلقة غير صفرية[3] فيها كل عنصر غير صفري a يوجد له مقلوب يرمز له بـ a–1 بحيث أن حاصل ضرب العنصر في مقلوبه يساوي واحد على النحو التالي aa–1 = a–1a = 1. لذا يمكن تعريف القسمة على الشكل التالي a / b = a'b–1، ولكن بشكل عام لا يحبذ استخدامه حيث قد نرى أن ab–1 ≠ b–1a.
حلقة القسمة بشكل عام هي حلقة لا تبادلية. تكون تبادلية إذا وفقط إذا كانت حقلاً، وفي هذه الحالة نادرًا ما يستخدم مصطلح «حلقة القسمة»، لكن خصائص حلقات القسمة تظل صحيحة حتى لو كانت تبادلية أو في إثبات أن «حلقة قسمة» معينة هي تبادلية. على سبيل المثال، تؤكد نظرية ويديربورن الصغرى "Wedderburn's little theorem" أن جميع حلقات القسمة المنتهية هي حلقات تبادلية وبالتالي حقول منتهية.
تاريخيًا كان يشار لحلقات القسمة أحيانًا باسم الحقول، بينما كانت الحقول تسمى «الحقول التبادلية».[7] في بعض اللغات، كالفرنسية، تُستخدم الكلمة المكافئة لكلمة حقل ("corps") لكل من الحالات التبادلية وغير التبادلية، ويتم التمييز بين الحالتين عن طريق إضافة صفات مثل "corps commutatif" (حقل تبادلي) أو "corps gauche" (حقل متخالف).
جميع حلقات القسمة هي حلقات بسيطة. وهذا يعني عدم وجود مثالي ذي وجهين بجانب المثالي الصفري [English] ونفسها.
أمثلة
- كما ذُكِرَ بالأعلى، فإن جميع الحقول هي حلقات قسمة.
- الكواتيرنيون تشكل حلقة قسمة غير تبادلية.
- مجموعة الكواتيرنيون الفرعية a + bi + cj + dk، حيث a و b و c و d من حقل فرعي ثابت من الأعداد الحقيقية، هي حلقة قسمة غير تبادلية. لو أن هذا الحقل الفرعي من الأعداد الكسرية، فتصبح حلقة قسمة كواتيرنيون كسرية.
مصادر
- ^ معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 189 (رابط)
- ^ معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 651 (رابط)
- ^ In this article, rings have a 1.
- ^ 1948, Rings and Ideals. Northampton, Mass., Mathematical Association of America
- ^ Artin, Emil, 1965: Collected Papers. Edited by Serge Lang, John T. Tate. New York et al.: Springer
- ^ Brauer, Richard, 1932: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252
- ^ Within the English language area the terms "skew field" and "sfield" were mentioned 1948 by Neal McCoy [4] as "sometimes used in the literature", and since 1965 skewfield has an entry in the قاموس أكسفورد الإنجليزي. The German term Schiefkörper [English] is documented, as a suggestion by v.d. Waerden, in a 1927 text by E. Artin,[5] and was used by E. Noether as lecture title in 1928.[6]
- Lam، Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. كتب دراسات عليا في الرياضيات (ط. 2nd). Springer. ج. 131. ISBN:0-387-95183-0. Zbl:0980.16001.
للاستزادة
- Cohn، P.M. (1995). Skew fields. Theory of general division rings. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: مطبعة جامعة كامبريدج. ج. 57. ISBN:0-521-43217-0. Zbl:0840.16001.
