مبرهنة كايزي

في الرياضيات، مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey's theorem)‏ وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي.

المبرهنة

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

لتكن $O$ دائرةً شعاعها $R$. ولتكن $O_1,O_2,O_3,O_4$ أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل $O$وتمسها على الترتيب. وليرمز $t_{ij}$ إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين $O_i,O_j$، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:

$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ النظريةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.

التطبيقات

تُستعمل مبرهنة كايزي وعكسها في إثبات عدة مسائل في الهندسة الإقليدية. على سبيل المثال اعتبرت المبرهنة أقصر حل لمبرهنة فويرباخ.

انظر أيضاً

• مبرهنة فويرباخ.
• دائرة النقاط التسع.
• رباعي توافقي.
• دائرة.
• دوائر داخلية وخارجية لمثلث.
• دائرة.