عرض مصدر متوسط حسابي هندسي


في ال[[رياضيات]]، يعرف '''المتوسط الحسابي الهندسي ''' {{إنج|Arithmetic–geometric mean}} [[عدد حقيقي|لعددين حقيقيين]] موجبين x و y على النحو التالي:

نسمي {{تعبير رياضي|''x''}} و {{تعبير رياضي|''y''}} :{{تعبير رياضي|''a''<sub>0</sub>}} و {{تعبير رياضي|''g''<sub>0</sub>}}:
:<math>\begin{align}
 a_0 &= x,\\
 g_0 &= y.
\end{align}</math>

ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين {{تعبير رياضي|(''a''<sub>''n''</sub>)}} و {{تعبير رياضي|(''g''<sub>''n''</sub>)}} كـ:

:<math>\begin{align}
 a_{n+1} &= \tfrac12(a_n + g_n),\\
 g_{n+1} &= \sqrt{a_n g_n}\, ,
\end{align}</math>

حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). يتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x و y ؛ يُشار إليه بـ {{تعبير رياضي|''M''(''x'', ''y'')}}، أو أحيانًا بـ {{تعبير رياضي|agm(''x'', ''y'')}}.

يستخدم الوسط الحسابي الهندسي في الخوارزميات السريعة للدوال [[دالة أسية|الأسية]] و[[دوال مثلثية|المثلثية]]، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب [[ط (رياضيات)|الثابت {{تعبير رياضي|π}}]].

== الأمثلة ==
لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ {{تعبير رياضي|''a''<sub>0</sub> {{=}} 24}} و {{تعبير رياضي|''g''<sub>0</sub> {{=}} 6}} ، نكرر ما يلي:

:<math>\begin{array}{rcccl}
 a_1 & = & \tfrac12(24 + 6) & = & 15\\
 g_1 & = & \sqrt{24 \cdot 6} & = & 12\\
 a_2 & = & \tfrac12(15 + 12) & = & 13.5\\
 g_2 & = & \sqrt{15 \cdot 12} & = & 13.416\ 407\ 8649\dots\\
 & & \vdots & &
\end{array}</math>

تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:

<div style="direction:ltr;">
:{| class="wikitable"
|-
! {{تعبير رياضي|''n''}}
! {{تعبير رياضي|''a''<sub>''n''</sub>}}
! {{تعبير رياضي|''g''<sub>''n''</sub>}}
|-
| 0
| 24
| 6
|-
| 1
| {{سطر تحتي|1}}5
| {{سطر تحتي|1}}2
|-
| 2
| {{سطر تحتي|13}}.5
| {{سطر تحتي|13}}.416 407 864 998 738 178 455 042...
|-
| 3
| {{سطر تحتي|13.458}} 203 932 499 369 089 227 521...
| {{سطر تحتي|13.458}} 139 030 990 984 877 207 090...
|-
| 4
| {{سطر تحتي|13.458 171 481 7}}45 176 983 217 305...
| {{سطر تحتي|13.458 171 481 7}}06 053 858 316 334...
|-
| 5
| {{سطر تحتي|13.458 171 481 725 615 420 766 8}}20...
| {{سطر تحتي|13.458 171 481 725 615 420 766 8}}06...
|}
</div>

يتضاعف عدد الأرقام {{تعبير رياضي|''a''<sub>''n''</sub>}} و {{تعبير رياضي|''g''<sub>''n''</sub>}} المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع كل تكرار. المتوسط الحسابي و
الهندسي لـ 24 و 6 هو الحد المشترك لهتين المتتاليتين، وهو تقريبا:

:{{val|13.4581714817256154207668131569743992430538388544}}.<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=agm%2824%2C+6%29 agm(24, 6)] at [[ولفرام ألفا]] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200409231427/http://www.wolframalpha.com/input/?i=agm%2824%2C+6%29|date=2020-04-09}}</ref>

== نبذة تاريخية ==
ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال [[جوزيف لوي لاغرانج|لاغرانج]]. تم تحليل خصائصه من قبل [[كارل فريدريش غاوس|غاوس]].

== خصائص ==
المتوسط الهندسي لعددين موجبين لا يكون أكبر من المتوسط الحسابي.  ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى {{تعبير رياضي|''n'' > 0}}، {{تعبير رياضي|(''g<sub>n</sub>'')}} هي متتالية متزايدة، {{تعبير رياضي|(''a<sub>n</sub>'')}} هي متتالية متناقصة، و {{تعبير رياضي|''g<sub>n</sub>'' ≤ ''M''(''x'',&nbsp;''y'') ≤ ''a<sub>n</sub>''}}. هذه هي متباينة قطعية إذا كان {{تعبير رياضي|''x'' ≠ ''y''}}.

وبالتالي فإن {{تعبير رياضي|''M''(''x'', ''y'')}} هو عدد محصور بين [[متوسط هندسي|المتوسط الهندسي]] والمتوسط الحسابي لـ x و y؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.

إذا كان {{تعبير رياضي|''r'' ≥ 0}}، فإن {{تعبير رياضي|''M''(''rx'',''ry'') {{=}} ''r M''(''x'',''y'')}}.

هناك الشكل التكاملي لـ {{تعبير رياضي|''M''(''x'',''y'')}}:

:<math>\begin{align}
 M(x,y) &= \frac{\pi}{2} \div \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}}\\
        &= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K\left( \frac{x - y}{x + y} \right)}
\end{align}</math>

حيث {{تعبير رياضي|''K''(''k'')}} هو [[تكامل إهليلجي|التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول]]:

:<math>K(k) = \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2(\theta)}} </math>

في الواقع، بما أن العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

[[تصنيف:دوال إهليلجية]]
[[تصنيف:دوال خاصة]]
[[تصنيف:متوسطات]]