عرض مصدر لوغاريتم

{{صندوق معلومات دالة رياضية
| اسم = لوغاريتم
| صورة = Log4.svg
| تعليق = تمثيل اللوغاريتمات، فاللون الأحمر ذو الأساس ([[ه (رياضيات)|e]])، واللون الاخضر ذو الأساس 2، واللون الأزرق ذو الأساس {{كسر|1|2}}،  نلاحظ أن جميع المنحنيات قطعت النقطة {{تعبير رياضي|''x'' {{=}} 1}}.
| حجم صورة = 
| بدل صورة = 
| ترميز    = <math>\log_a (x)</math>
| دالة عكسية = <math>a^x (x)</math>
| مشتق دالة = <math>\frac{1}{x \ln (a)}</math>
| مشتق عكسي = <math>\frac{x\ln (x) - x}{\ln a} + C</math> أو:<math>x\log_a {x} - x\log_a {e} + C</math>
| مجال = <math>\R_+^*</math>
| مجال مقابل = <math>\R</math>
| دالة دورية = 
| plusinf =
<math>+\infty</math> إذا كان <math>a>1</math><br/><math>-\infty</math> إذا كان <math>a<1</math>
| minusinf = 
| vr1 = 1
| صفر = *على اليمين:
<math>-\infty</math> إذا كان <math>a>1</math>
<math>+\infty</math> إذا كان <math>a<1</math>
| حد أعلى = 
| حد أدنى = 
| f1 = 0
| vr2 = 
<math>a</math>
| f2 = 1
| vr3 = 
| f3 = 
| vr4 = 
| f4 = 
| vr5 = 
| f5 = 
| خط مقارب = <math>x=0</math>
| جذر = 1
| نقطة حرجة = 
| نقطة انقلاب = 
| نقطة ثابتة = 
| ملاحظات =

}}
في [[رياضيات|الرياضيات]] '''اللوغاريتم''' أو '''اللوغاريثم''' {{إنج|logarithm}} هي [[دالة عكسية|الدالة العكسية]] [[دالة أسية|للدوال الأسية]] ويُعرَّف '''لوغاريتم''' عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه [[رفع (رياضيات)|الأس]] المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. فعلى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساس 10 هو 3 لأن {{بدون لف|1000 {{=}} 10 × 10 × 10 {{=}} 10<sup>3</sup>.}} وعموما، يمكن القول أنه إذا كان {{بداية لا لف}}''x'' = ''b''<sup>''y''</sup>{{نهاية لا لف}} فإن لوغاريتم ''x'' بالنسبة للأساس ''b'' هو ''y'' يعبر عن ذلك [[رياضيات|رياضياً]] بالعلاقة:
:log<sub>''b''</sub> ''x=y''

وبالرجوع إلى المثال يصبح:
:{{بداية لا لف}}log<sub>10</sub>(1000) = 3.{{نهاية لا لف}}
يعرف [[لوغاريتم عشري|اللوغاريتم العشري]] بأنه لوغاريتم عدد ما بالنسبة للأساس 10 والذي يستخدم بشكل كبير في حساب التطبيقات العلمية و[[هندسة|الهندسية]].
الأسس أو اللوغاريتم هي العملية العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف [[لوغاريتم طبيعي|اللوغاريتم الطبيعي]] بأنه لوغاريتم عدد بالنسبة لأساس هو [[ه (رياضيات)|العدد النيبيري]] (''e'') والذي له تطبيقات كثيرة في الحسابات الهندسية والعلمية وفي [[رياضيات بحتة|الرياضيات البحتة]] وخاصة في [[تفاضل وتكامل|التفاضل والتكامل]]. في حين يعرف [[لوغاريتم ثنائي|اللوغاريتم الثنائي]] لعدد ما بأنه لوغاريتمه بالنسبة للأساس 2 ويستخدم بشكل كبير في [[علم الحاسوب]] و[[بوابة منطقية|الدارات المنطقية]].

كان اللوغارتم معروفا لدى العرب نسبة إلى العالم [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]]،<ref name=":0">{{استشهاد بكتاب
| عنوان = الموسوعة الكونية - قصة نشأة الكون -: Cosmic Encyclopedia - The Story of the Origin of the Universe -
| مسار = https://books.google.com.ly/books?id=Kn_VDwAAQBAJ&pg=PT101&dq=%D8%A7%D9%84%D9%84%D9%88%D8%BA%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AA%D9%85+%D8%A7%D9%84%D8%AE%D9%88%D8%A7%D8%B1%D8%B2%D9%85%D9%8A&hl=ar&sa=X&ved=2ahUKEwjbzLSnhZ73AhVGnaQKHRSTBfQ4ChDoAXoECAQQAg#v=onepage&q&f=false
| ناشر = دار الخليج للنشر والتوزيع / daralkhalij for Publishing and Distribution
| تاريخ = 2020-03-01
| isbn = 978-9923-23-047-3
| لغة = ar
| مؤلف = الفلكي: عماد
| مؤلف1 = دار
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220623013405/https://books.google.com.ly/books?id=Kn_VDwAAQBAJ&pg=PT101&dq=%D8%A7%D9%84%D9%84%D9%88%D8%BA%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AA%D9%85+%D8%A7%D9%84%D8%AE%D9%88%D8%A7%D8%B1%D8%B2%D9%85%D9%8A&hl=ar&sa=X&ved=2ahUKEwjbzLSnhZ73AhVGnaQKHRSTBfQ4ChDoAXoECAQQAg|تاريخ أرشيف=2022-06-23}}</ref> ولقد أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل [[القرن 17|القرن السابع عشر]] على يد العالم [[جون نابير]] وسيلةً لتبسيط الحسابات، ليعتمد عليها بعد ذلك الملاحون والعلماء والمهندسون والفلكيون وغيرهم لإنجاز حساباتهم بسهولة أكبر، مستخدمين [[مسطرة حاسبة|المساطر الحاسبة]] و[[جدول رياضي|الجداول اللوغاريتمية]]. 
وتعود كلمة اللوغارتم إلى العالم العربي [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]]<ref name=":0" /> حيث يرد أسمه في اللغة الإنجليزية بكلمة Algorism وalgorithm واللتان تنبعان من كلمة ''Algoritmi''، الشكل اللاتيني لاسمه الخوارزمي. كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب لإيجاد لوغاريتم جداء عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية:
:<math> \log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,</math>
قام [[ليونهارت أويلر]] في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم [[دالة أسية|التابع الأسي]] ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط [[دالة|بالتوابع]].

كما يستفاد من [[مقياس لوغاريتمي|المقياس اللوغاريتمي]] من التقليل من التمثيل البياني لمجالات واسعة من الكميات إلى مقياس أصغر. فعلى سبيل المثال [[ديسيبل|الديسيبل]] هو وحدة لوغاريتمية لقياس ضغظ الصوت ونسبة [[فولت|الفولت]]. كما يستخدم [[أس هيدروجيني|الأس الهيدروجيني]] (وهو مقياس لوغاريتمي) في [[كيمياء|الكيمياء]] لتحديد [[أس هيدروجيني|حمضية]] محلول ما وذلك من خلال العلاقة التالية:

<math>\rm {pH}=-\log {\rm {[H_3O^+]}}</math>

== الأساس والتعريف ==
لقد أتت فكرة اللوغاريتم على أنها العملية العكسية [[رفع (رياضيات)|للرفع]]، وهي رفع رقم لأس، على سبيل المثال رفع الرقم 2 للأس 3 هو 8، لأن الـ 8 تنتج عن ضرب 2 بنفسها 3 مرات أي:
:<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8. \,</math>
وبالتالي تكون العملية العكسية للرفع هي : لوغاريتم الـ 8 بالنسبة للأساس 2 هي 3 أي:

'''log<sub>2</sub>&nbsp;8&nbsp;=&nbsp;3'''.
=== الرفع ===
يمكننا القول أن ناتج رفع رقم ما ''b'' إلى الأس 3 هو حاصل ضرب الرقم ''b'' بنفسه ثلاث مرات، وبالتعميم فإن ناتج رفع الرقم ''b'' إلى الأس ''n'' هو حاصل ضرب ''b'' بنفسه ''n'' مرة أي:
:<math>b^n = \underbrace{b1 \times b2 \times \cdots \times bn}_{n \text{factor}}.</math>

== التعريف ==
يعرف لوغاريتم عدد ما ''x'' بالنسبة للأساس ''b'' بأنه الأس الذي يجب أن يرفع له ''b'' لينتج عنه ''x'' أو يمكننا القول بأن لوغاريتم ''x'' بالنسبة للأساس ''b'' هو الأس ''y'' في المعادلة:<ref>{{استشهاد|مؤلف1-الأخير=Kate|مؤلف1-الأول=S.K.|مؤلف2-الأخير=Bhapkar|مؤلف2-الأول=H.R.|عنوان=Basics Of Mathematics|مكان=Pune|ناشر=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|سنة=2009|مسار=http://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false|تاريخ الوصول=28 مايو 2013|تاريخ أرشيف=12 يناير 2014|مسار أرشيف=https://web.archive.org/web/20140112053203/http://books.google.com/books?id=v4R0GSJtEQ4C&pg=PR1#v=onepage&q&f=false|حالة المسار=dead}}, chapter 1</ref>
: <math>b^y = x. \,   </math>

وتكتب العبارة (لوغاريتم ''x'' بالنسبة للأساس ''b'') رياضياً بالشكل:
:<math> \log_b \!\left( x \right)  </math>
وناتج هذه المعادلة هو الأس y

:<math> \log_b \!\left( x \right)=y  </math>
ولتعريف اللوغاريتم يجب أن يكون الأساس [[عدد حقيقي]] موجب لايساوي الصفر وx عدد موجب.{{#tag:ref|The restrictions on ''x'' and ''b'' are explained in the section [[#Analytic properties|"Analytic properties"]].|group=م أ}}

== الحساب ==
من السهل حساب اللوغاريتم في بعض الحالات، مثل ''log10(1,000) = 3''. لكن بالعموم يمكن حساب اللوغاريتم باستخدام [[متسلسلة قوى|متسلسلة القوى]] أو باستخدام [[الهندسة الحسابية بالوسائل التقريبية]] أو من خلال ايجاده تقريبياً من خلال الجداول اللوغاريتمية.<ref>{{استشهاد | مؤلف1-الأخير=Muller | مؤلف1-الأول=Jean-Michel | عنوان=Elementary functions | ناشر=Birkhäuser Boston | مكان=Boston, MA | إصدار=2nd | isbn=978-0-8176-4372-0 | سنة=2006}}, sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)</ref><ref>{{استشهاد|مؤلف=Hart, Cheney, Lawson et al.|سنة=1968|ناشر=John Wiley|مكان=New York|عنوان=Computer Approximations|سلسلة=SIAM Series in Applied Mathematics}}, section 6.3, p. 105–111</ref> كما تستخدم [[طريقة نيوتن|طريقة نيوتن-رافسون]] التكرارية في حساب اللوغاريتم لأن استخدام هذه الطريقة تمكن من ايجاد [[دالة عكسية|التابع العكسي]] و[[دالة أسية|التابع الأسي]] بشكل فعال.<ref>{{استشهاد|مؤلف1-الأخير=Zhang|مؤلف1-الأول=M.|مؤلف2-الأخير=Delgado-Frias|مؤلف2-الأول=J.G.|مؤلف3-الأخير=Vassiliadis|مؤلف3-الأول=S.|عنوان=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|مسار= https://www.tudelft.nl/ewi/over-de-faculteit/afdelingen/quantum-computer-engineering/computer-engineering/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|صحيفة=IEE Proceedings Computers & Digital Techniques|issn=1350-387|المجلد=141|سنة=1994|العدد=5|صفحات=281–292|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20221009074120/https://www.tudelft.nl/ewi/over-de-faculteit/afdelingen/quantum-computer-engineering/computer-engineering/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|تاريخ أرشيف=2022-10-09}}{{وصلة مكسورة}}, section 1 for an overview</ref> وتستخدم [[طريقة منزلة بمنزلة]] لحساب اللوغاريتمات إذا كانت العملية المتاحة فقط هي إضافة وتحويل منزلة.<ref>{{استشهاد |مسار= |الأول=J. E.|الأخير=Meggitt|عنوان=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|صحيفة=IBM Journal| تاريخ = April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210}}</ref><ref>{{استشهاد |الأخير=Kahan |الأول=W. |مؤلف-وصلة= William Kahan |عنوان=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials |تاريخ= May 20, 2001 |ناشر= |صحيفة= |doi= }}</ref> بالإضافة إلى استخدام طريقة [[لوغاريتم ثنائي|حساب اللوغاريتم ثنائي]] لـ lb(''x'') والتي تقوم على [[عودية|الاستدعاء الذاتي]] لمربع x وتكرار العملية والاستفادة من ذلك.
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>
=== متسلسلة القوى ===
==== متسلسلة تايلور ====
{{مفصلة|متسلسلة تايلور وماكلورين}}
من أجل <math>
x\in ]0,2[
</math> ، عندها يمكن كتابة العلاقة:<ref name=AbramowitzStegunp.68>{{Harvard citations|editor1-last=Abramowitz|editor2-last=Stegun|year=1972 |nb=yes|loc=p. 68}}</ref>
:<math>
\ln(x)  = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}}{\biggl(\frac{(x-1)^n}{n}\biggl)} =(x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} + \cdots
</math>

===== مثال إيجاد تقريب لـ <math>
\ln\biggl(\frac{3}{2}\biggl)
</math> =====
:<math>
\ln\biggl(\frac{3}{2}\biggl)
\approx \biggl(\frac{3}{2}-1\biggl)-\frac{\biggl(\frac{3}{2}-1\biggl)^2}{2}+\frac{\biggl(\frac{3}{2}-1\biggl)^3}{3}-\frac{\biggl(\frac{3}{2}-1\biggl)^4}{4}+\frac{\biggl(\frac{3}{2}-1\biggl)^5}{5}
\approx \frac{391}{960} \approx 0.40
</math>

==== متسلسلات أخرى ====
باستعمال تحويلات أويلر على [[متسلسلة تايلور]] نحصل على المتفاوتة التالية:

من أجل كل عدد حقيقي <math>x</math>

:<math>
\ln(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}\biggl(1-\frac{1}{x}\biggl)^n} = \biggl(1-\frac{1}{x}\biggl)+\frac{1}{2}\biggl(1-\frac{1}{x}\biggl)^2+\frac{1}{3}\biggl(1-\frac{1}{x}\biggl)^3+\dots</math>

== خواص وقوانين اللوغاريتم الطبيعي ==

=== اللوغاريتم الطبيعي والتكامل ===
<math display="inline">\ln(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt</math> حيث <math>x>0</math> ومنه فإن <math display="inline">\ln(1)=\int_{1}^{1} \frac{1}{t}dt=0</math>

[[مشتق عكسي|الدالة الأصلية]] للوغاريتم الطبيعي <math display="inline">\int \ln(x) = x\ln(x)-x+c</math>حيث <math>c</math> عدد حقيقي

=== خصائص جبرية ===
إن من بين أهم خصائص دالة اللوغاريتم الطبيعي هي خاصية تحويل الجداء إلى مجموع.
* <math>\ln\biggl(\coprod_{i=1}^n{a_i}\biggl)=\sum_{i=1}^n{\ln(a_i)}</math> حيث <math>a_1</math> و <math>a_2</math> و <math>a_3</math> و ... و <math>a_i</math> أعداد حقيقية موجبة قطعا.

== تاريخ اللوغاريتمات ==
=== اللوغاريتمات قديماً ===

نشر عالم [[رياضيات|الرياضيات]] [[إسكتلندا|الاسكتلندي]] [[جون نابير|جون نايبير]] أول بحث وجدول للوغاريتمات عام [[1614]]م. وقد اكتشف [[سويسرا|السويسري]] جوبست برجي اللوغاريتمات على نحو مستقل في نفس الوقت تقريبا. وفي أوائل القرن السابع عشر، قدم الإنجليزي هنري برجز للرقم الأساسي [[10]]، وبدأ في وضع جدول به [[14]] خانة للوغاريتمات العشرية، ثم أكمل [[هولندا|الهولندي]] أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز. وحوالي عام [[1622]]م، وضع الإنجليزي إدموند جنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على [[مستطيل]]<nowiki/>ات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة. استمر استخدام جداول برجز - فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في [[المملكة المتحدة|بريطانيا]] [[في (توضيح)|في]] الفترة من [[1924]] و حتى [[1949]]م.<ref>[https://sites.google.com/site/c2iicell32/ تاريخ اللغويتمات القديم] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200425191320/https://sites.google.com/site/c2iicell32/ |date=25 أبريل 2020}}</ref>

=== اللوغاريتمات حديثاً ===

أدى استخدام [[حاسوب|الحواسيب]] و[[آلة حاسبة|الحاسبات]] الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية.<ref>[https://sites.google.com/site/c2iicell32/ تاريخ اللغويتمات الحديث] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200425191320/https://sites.google.com/site/c2iicell32/ |date=25 أبريل 2020}}</ref>

== إستخدامات اللوغاريتمات ==

* '''[[ضرب|الضرب]]'''، لضرب رقمين باستخدام اللوغاريتمات، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكل من الرقمين [[في (توضيح)|في]] الجدول، وإجمع هذين اللوغاريتمين للحصول على لوغاريتم حاصل ضرب هذين الرقمين، ثم ابحث عن الرقم الذي يكون لوغاريتمه هو لوغاريتم حاصل ضرب الرقمين، مستخدمًا الجدول مرة أخرى.
* '''[[قسمة (رياضيات)|القسمة]]'''، لقسمة رقم على آخر، ابحث عن اللوغاريتم الخاص بكلٍ من الرقمين في الجدول، واطرح لوغاريتم المقام من لوغاريتم البسط، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو لوغاريتم حاصل عملية الطرح هذه. هذا الرقم هو حاصل القسمة المطلوب.
* '''رفع الرقم إلى قوة معينة'''، لكي ترفع رقمًا إلى قوة معينة، ابحث في الجدول عن لوغاريتم هذا الرقم و[[ضرب|إضرب]] هذا اللوغاريتم في أُس القوة، ثم ابحث في الجدول عن الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به هو نفس لوغاريتم حاصل عملية الضرب هذه. هذا الرقم هو القوة المطلوبة للرقم الأول.
* '''إيجاد الجذر'''، لمعرفة جذر رقم ما، ابحث عن لوغاريتم الرقم في الجدول، و[[قسمة (رياضيات)|إقسم]] هذا الرقم على أُس الجذر، ثم استخدم الجدول مرة أخرى لمعرفة الرقم الذي يكون اللوغاريتم الخاص به مساويًا لحاصل عملية القسمة، ويكون هذا هو الجذر المطلوب للرقم.

== أنواع اللوغاريتمات ==

تقسم اللوغاريتمات إلى خمس أقسام- بحسب أنواعها -:
* '''لوغاريتمات عادية''': تستخدم كل الأعداد عدا العشرة والاثنين والعدد النيبيري والأعداد المركبة.
* '''لوغاريتمات ثنائية''': تستخدم العدد 2.
* '''لوغاريتمات عشرية''': تستخدم العدد 10.
* '''لوغاريتمات طبيعية''': بحيث تستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية وهو ما يسمى ب[[ه (رياضيات)|العدد النيبيري]].
* '''لوغاريتمات مركبة''': تستخدم الأعداد المركبة.

== الأصل اللغوي ==
لوغاريتم هي كلمة إنجليزية أُخذت من اسم العالم العربي [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]].<ref name=":0" /> أما الأسس فهي كلمة ذات أصل [[عرب]]ي وهي متناسقة مع الأس والذي يعني وضع الأساس. فالتعبير x4 يعني x تُبنى وتُرفع 4 مرات أي تضرب 4 مرات في نفسها.

وقيل إن أصل كلمة لوغارتم ''Logarithm'' قد يكون من الكلمتين إغريقيتين لوغوس (''Logos'') والتي تعني ''نسبة'' وأريتموس (''Arithmos'') والتي تعني ''عدد''.<ref>Le théorème du parapluie, Mickaël Launay, page 48</ref>

== طالع أيضاً ==

* [[جبر|الجبر]]
* [[ه (رياضيات)|العدد النيبيري]]
* [[ضرب|الضرب]]
* [[قسمة (رياضيات)|القسمة]]
* [[جمع|الجمع]]
* [[طرح|الطرح]]
* [[لوغاريتم طبيعي]]

== مصادر ==

<references group="م أ"/>

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط سفلي دوال رياضية شائعة}}
{{شريط بوابات|الكيمياء|تحليل رياضي|جغرافيا|حسابيات|رياضيات|هندسة}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:لوغاريتمات|*]]
[[تصنيف:اختراعات عربية]]
[[تصنيف:دوال ابتدائية خاصة]]
[[تصنيف:عمليات ثنائية]]
[[تصنيف:اختراعات إسكتلندية]]