عرض مصدر طريقة غاوس-زايدل

في [[جبر خطي عددي|الجبر الخطي العددي]]، '''طريقة غاوس-زايدل''' المعروفة أيضًا '''بطريقة ليبمان'''، هي [[طريقة تكرارية]] تستخدم في حل [[نظام معادلات خطية|نظم المعادلات الخطية]]. وسميت على اسم عالمي الرياضيات [[ألمانيا|الألمانيين]] [[كارل فريدريش غاوس]] و[[فيليب لودفيش فون زايدل]]. وذكرت فقط في رساله خاصة من غاوس إلى تلميذه كريستيان غيرلنغ عام 1823.<ref>
{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Gauss|1903|p=279}}; [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN23601515X&DMDID=DMDLOG_0112&LOGID=LOG_0112&PHYSID=PHYS_0286 direct link]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170421053607/http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN23601515X&DMDID=DMDLOG_0112&LOGID=LOG_0112&PHYSID=PHYS_0286 |date=21 أبريل 2017}}</ref> لكنها لم تنشر إلا من قبل زايدل عام 1874.

== الوصف ==
تعتمد طريقة غاوس زايدل على [[طريقة تكرارية|أسلوب التكرار]] لحل معادلات خطية عددها n بمجهول x.
:<math>A\mathbf x = \mathbf b</math>
وتعرّف بالتكرار:
:<math> L_* \mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)}, </math>
بحيث:
<math>\mathbf{x}^{(k)}</math> هو التكرار أو التقريب رقم ''k'' لـ<math>\mathbf{x},\,\mathbf{x}^{k+1}</math> هو التكرار رقم ''k'' + 1 لـ<math>\mathbf{x}</math>.

وبالتفصيل:
:<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad  \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad  \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>

:<math>A=L_*+U \qquad \text{where} \qquad L_* = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \quad U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}. </math>

ومن ثم يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كما يلي:
:<math>L_* \mathbf{x} = \mathbf{b} - U \mathbf{x} </math>

:<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = L_*^{-1} (\mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)}). </math>

:<math> x^{(k+1)}_i  = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j<i}a_{ij}x^{(k+1)}_j - \sum_{j>i}a_{ij}x^{(k)}_j \right),\quad i,j=1,2,\ldots,n. </math><ref>{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Golub|Van Loan|1996|loc=eqn (10.1.3)}}.</ref>

== مثال ==
<math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>

:<math> A=
      \begin{bmatrix}
           16  &   3 \\
            7  & -11 \\
           \end{bmatrix}
</math> و <math> b=
      \begin{bmatrix}
           11 \\
           13
           \end{bmatrix}
</math>

نحتاج لاستخدام المعادلة
:<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = L_*^{-1} (\mathbf{b} - U \mathbf{x}^{(k)}) </math>

في صورة

:<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = T \mathbf{x}^{(k)} + C </math>

حيث:

:<math>T = - L_*^{-1} U</math> و<math>C = L_*^{-1} \mathbf{b}.</math>

يجب أن نحلل المصفوفة <math>A_{}^{}</math> إلى مجموع <math>L_*^{}</math> و<math>U_{}^{}</math>:

:<math> L_*=
      \begin{bmatrix}
           16 &   0 \\
           7  & -11 \\
           \end{bmatrix}
</math> و<math> U =
        \begin{bmatrix}
           0 & 3 \\
           0 & 0
        \end{bmatrix}.</math>
ومعكوس <math>L_*^{}</math> هو:
:<math> L_*^{-1} =
      \begin{bmatrix}
           16 &   0 \\
           7  & -11
           \end{bmatrix}^{-1}
      =
      \begin{bmatrix}
           0.0625 &  0.0000 \\
           0.0398 & -0.0909 \\
           \end{bmatrix}
</math>.

نستطيع الآن إيجاد:
:<math> T = - 
      \begin{bmatrix}
           0.0625 &  0.0000 \\
           0.0398 & -0.0909
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           0 & 3 \\
           0 & 0
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix},  </math>

:<math> C = 
      \begin{bmatrix}
           0.0625 &  0.0000 \\
           0.0398 & -0.0909
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           11 \\
           13
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}.  </math>

بذلك نكون قد حصلنا على <math>T_{}^{}</math> و<math>C_{}^{}</math>

نفرض:

:<math> x^{(0)} =
        \begin{bmatrix}
           1.0 \\
           1.0
        \end{bmatrix}.</math>
ثم يمكننا أن نحسب:

:<math> x^{(1)} = 
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           1.0 \\
           1.0
      \end{bmatrix}
      +
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.5000 \\
          -0.8636
      \end{bmatrix}.  </math>

:<math> x^{(2)} =
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           0.5000 \\
          -0.8636
      \end{bmatrix}
      +
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.8494 \\
          -0.6413
      \end{bmatrix}.  </math>

:<math> x^{(3)} =
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           0.8494 \\
          -0.6413 \\
      \end{bmatrix}
      +
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.8077 \\
          -0.6678
      \end{bmatrix}.  </math>

:<math> x^{(4)} =
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           0.8077 \\
          -0.6678
      \end{bmatrix}
      +
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.8127 \\
          -0.6646
      \end{bmatrix}.  </math>

:<math> x^{(5)} =
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           0.8127 \\
          -0.6646
      \end{bmatrix}
      +
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.8121 \\
          -0.6650
      \end{bmatrix}.  </math>

:<math> x^{(6)} =
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           0.8121 \\
          -0.6650
      \end{bmatrix}
      +
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.8122 \\
          -0.6650
      \end{bmatrix}.  </math>

:<math> x^{(7)} =
      \begin{bmatrix}
           0.000 & -0.1875 \\
           0.000 & -0.1193
      \end{bmatrix}
      \times
      \begin{bmatrix}
           0.8122 \\
          -0.6650
      \end{bmatrix}
      +
      \begin{bmatrix}
           0.6875 \\
          -0.7443
      \end{bmatrix}  
      =
      \begin{bmatrix}
           0.8122 \\
          -0.6650
      \end{bmatrix}.  </math>

وبذلك تكون قيمة x:
:<math> \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0.8122\\ -0.6650 \end{bmatrix}. </math>

== اقرأ أيضا ==
* [[عدد صغير|الرقم الصغير]].
* [[عدد مؤلف|عدد غير أولي]].
* [[معادلة xʸ=yˣ]].
* [[الأس العشري]].
* [[معادلات نيوتن-أويلر]].

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي}}
{{ضبط استنادي}}

[[تصنيف:جبر خطي عددي]]
[[تصنيف:رخصة جنو للوثائق الحرة]]