هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي

في علم الرياضيات، وخاصة في علم الطوبولوجيا التفاضلية، فإن هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي يشير إلى هيكل الحزمة الشعاعية الطبيعي (TE,p_*,TM) الموجود على إجمالي الفضاء TE المخصص لحزمة المماس الخاصة بالحزمة الشعاعية السلسة (E,p,M)، الناتجة عن الدفع الأمامي p_*:TE→TM لخريطة الإسقاط الأصلية p:E→M.

في الحالة الخاصة (E,p,M)=(TM,π_TM,M)، حيث يكون TE=TTM هو حزمة المماس المزدوجة، والحزمة الشعاعية الثانوية (TTM,(π_TM)_*,TM) تكون متماثلة مع حزمة المماس (TTM,π_TTM,TM) لـ TM عبر الانعكاس المعياري.

بناء هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية

بفرض أن (E,p,M) هي الحزمة الشعاعية السلسة من الرتبة N. وبما أن الصورة الأصلية (p_*)⁻¹(X)⊂TE لأية شعاع مماس X∈TM في معامل الدفع الأمامي p_*:TE→TM الخاص بالإسقاط المعياري p:E→M هي تفرع ثانوي متعدد من فئة البُعد 2N، وتصبح مساحة شعاعية مع عوامل الدفع الأمامي

${+}_{*}:T(E\times E)\to TE,{\lambda }_{*}:TE\to TE$

للإضافة الأصلية والمضاعفة العددية غير الموجهة

$+:E\times E\to E,\lambda :E\to E$

كما هو الحال في عمليات الفضاء الشعاعي. العامل الثلاثي (TE,p_*,TM) يصبح حزمة شعاعية سلسة مع وجود عمليات الفضاء الشعاعي على أليافه.

البرهان

بفرض أن (U,φ) هو نظام إحداثيات محلية على أساس العامل المتشعب M مع φ(x)=(x¹,...,xⁿ) وبفرض أن

$\psi :W\to \phi (U)\times {\mathbb{R}}^N;\psi (v^k{e}_k{|}_x):=(x^1,\dots ,x^n,v^1,\dots ,v^N)$

يكون نظام إحداثيات على E ومتناسبًا معه. إذن

$p_{*}(X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_v+Y^{\ell }\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_v)=X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_{p(v)},$

وبالتالي، فإن ألياف هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية عند X∈T_xM يكون في صورة

$p_{*}^{-1}(X)=\{X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_v+Y^{\ell }\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_v|v\in E_x,Y^1,\dots ,Y^N\in \mathbb{R}\}.$

والآن يتضح أن

$\chi (X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_v+Y^{\ell }\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_v)=(X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_{p(v)},(v^1,\dots ,v^N,Y^1,\dots ,Y^N))$

يعطي تسطيحًا محليًا χ:TW→TU×R^2N للقيمة (TE,p_*,TM)، وتُقرأ عوامل الدفع الأمامي الخاصة بعمليات الفضاء الشعاعي الأصلية في الإحداثيات المناسبة المُعدلة مثل

$(X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_v+Y^{\ell }\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_v){+}_{*}(X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_w+Z^{\ell }\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_w)=X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell })\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_{v+w}$

و

${\lambda }_{*}(X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_v+Y^{\ell }\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_v)=X^k\frac{\partial }{\partial x^k}{|}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }\frac{\partial }{\partial v^{\ell }}{|}_{\lambda v},$

وبالتالي، فإن كل واحد من الألياف (p_*)⁻¹(X)⊂TE هو مساحة شعاعية، والقيمة الثلاثية (TE,p_*,TM) هي الحزمة الشعاعية السلسة.

الاستقامة الخطية لروابط الحزم الشعاعية

تكون رابطة إيهريزمان العامة

$TE=HE\oplus VE$

على حزمة شعاعية (E,p,M) يمكن وصفها من حيث خريطة الرابط

$\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)};\kappa (X):={\mathrm{v}}_{\mathrm{l}}^v(\mathrm{v}\mathrm{p}\mathrm{r}X),$

حيث vl_v:E→V_vE هو عامل الرفع الرأسي، وvpr_v:T_vE→V_vE يكون الإسقاط الرأسي. ويكون الاقتران

$\mathrm{\nabla }:TM\times \mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E);{\mathrm{\nabla }}_{X}v:=\kappa (v_{*}X)$

الناتج عن رابطة إيهريزمان هو المشتق الطردي المتغاير على Γ(E) بمعنى أن

• ${\mathrm{\nabla }}_{X+Y}v={\mathrm{\nabla }}_{X}v+{\mathrm{\nabla }}_{Y}v$
• ${\mathrm{\nabla }}_{\lambda X}v=\lambda {\mathrm{\nabla }}_{X}v$
• ${\mathrm{\nabla }}_X(v+w)={\mathrm{\nabla }}_{X}v+{\mathrm{\nabla }}_{X}w$
• ${\mathrm{\nabla }}_X(\lambda v)=\lambda {\mathrm{\nabla }}_{X}v$
• ${\mathrm{\nabla }}_X(fv)=X[f]v+f{\mathrm{\nabla }}_{X}v$

وفقط إذا كانت خريطة الرابط خطية من ناحية هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية (TE,p_*,TM) على TE. فحينها يُطلق على الرابطة أنها خطية. لاحظ أن خريطة الرابط تكون خطية تلقائيًا مع هيكل حزمة المماس (TE,π_TE,E).

انظر أيضًا

• الرابطة (الحزمة الشعاعية)
• حزمة المماس المزدوجة
• رابطة إيهريزمان
• الحزمة الشعاعية

المراجع

• P.Michor. Topics in Differential Geometry, American Mathematical Society (2008).