هوية سومرفيلد

هوية سومرفيلد هي هوية رياضياتية، اكتشفت عن طريق أرنولد سومرفيلد و تستعمل في نظرية انتشار الموجات.

$\frac{e^{ikR}}{R}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{I}_0(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}\frac{\lambda d\lambda }{\mu }$

حيث

$\mu =\sqrt{{\lambda }^2-k^2}$

تًُأخذ بالجزء الموجب الحقيقي، لتأكيد انحصار التكامل و تلاشيه عندما $z\to \pm \mathrm{\infty }$، و

$R^2=r^2+z^2$

هنا $R$ هي المسافة من نقطة المركز بينما $r$ هي المسافة من المحور المركزي لاسطوانة كما في نظام الإحداثي أسطواني $(r,\varphi ,z)$. هنا طريقة كتابة الرموز لدالة بيسل تتبع النظام الألماني، حت تكون على اتساق مع طريقة كتابة الرموز الأصلية المتبعة من سومرفيلد. الدالة $I_0(z)$ هل من المستوى صفر لدالة بيسل من النوع الأول، أو ما يعرف بـ $I_0(z)=J_0(iz)$ في الطريقة الإنجليزية. هذه الهوية هي هوية سومرفيلد.

يمكن كتابة هذه الهوية بطريقة أخرى، حيث أنها يمكن أن توجد بشكل أسهل كامتداد لموجة كروية بطريقة الموجات المتماثلة بشكل اسطواني:

$\frac{e^{i{k}_{0}r}}{r}=i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{k}_{\rho }\frac{k_{\rho }}{k_z}{J}_0(k_{\rho }\rho )e^{i{k}_z\left|z\right|}$

حيث

$k_z=(k_0^2-k_{\rho }^2{)}^{1/2}$

طريقة كتابة الرموز هنا مختلفة عما سبق، إذ أن $r$ هنا هي المسافة من نقطة الأصل و $\rho$ هي المسافة نصف القطرية كما في نظام الإحداثي أسطواني المعرف كـ $(\rho ,\varphi ,z)$. المعنى الفيزيائي هنا هو أن الموجة الكروية يمك أن تتوسع إلى مجموع من الموجوات الأسطوانية في الاتجاه $\rho$، مضروبة بموجة مستوية ثنائية الأوجه في الاتجاه $z$. يجب أن يأخد هذا المجموع لجميع أرقام الموجة $k_{\rho }$.

تعتبر هوية سومرفيلد مرتبطة بشكل قريب بتحويل فورييه ثنائي الأبعاد مع تمثال أسطواني، على سبيل المثال، كتحويل هانكل. يمكن الحصول عليها عند تحويل الموجة الكروية على طول الإحداثيات المستوي $x,y)$ أو $(\rho ,\varphi$، مع عدم التحويل على طول الارتفاع $z$.