نظرية الإجهادات متناهية الصغر

في ميكانيكا المتصل، نظرية الإجهادات متناهية الصغر, يطلق عليها أيضا نظرية التشوه الصغير, نظرية الإزاحة الصغرى, أو نظرية تدرج الإزاحة الصغرى, تتعامل مع التشوهات لجسم متصل. بالنسبة للتشوه المتناهي في الصغر، تكون الإزاحات ووتدرجات الإزاحة صغيرة جدا مقارنة بالوحدة، أي، $\left|\mathbf{u}\right|\ll 1$ و$\left|\mathrm{\nabla }\mathbf{u}\right|\ll 1$, سامحة لـ الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد $\mathbf{E}$, وموتّر أويلر محدود الاجهاد $\mathbf{e}$, بعبارة أخرى الحدود الغير خطية أو حدود الرتبة الثانية لموتّر الاجهادالمحدود يمكن إهمالها. تكون موتّرات لاغرانج وأويلر محدودة الانفعال نفسها تقريبا ويمكن تقريبها بـموتّر اجهاد متناهي الصغر أو موتّر اجهاد كوشي, ${\epsilon }$. على ذلك،

$\mathbf{E}\approx \mathbf{e}\approx {\epsilon }=\frac{1}{2}(\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}^T+\mathbf{u}\mathrm{\nabla })$

أو

$E_{KL}\approx e_{rs}\approx {\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$

تستخدم نظرية الاجهادات متناهية الصغر في تحليل تشوهات المواد التي تظهر سلوكا مرنا، مثل المواد الموجودة في تطبيقات الهندسة الميكانيكية والمدنية.

موتّر اجهاد متناهي الصغر

من أجل تشوهات متناهية الصغر لجسم المتصل، والتي تكون فيها الإزاحة وتدرج الإزاحة صغيرة مقارنة بالوحدة، أي، $\left|\mathbf{u}\right|\ll 1$ و$\left|\mathrm{\nabla }\mathbf{u}\right|\ll 1$, يكون من الممكن الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الإجهاد $\mathbf{E}$, وموتّر أويلر محدود الإجهاد $\mathbf{e}$, مع إهمال الحدود الغير خطية، يكون لدينا

$\mathbf{E}=\frac{1}{2}(\mathbf{u}\underset{\mathbf{X}}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}+\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{X}}+\mathbf{u}\underset{\mathbf{X}}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{X}})\approx \frac{1}{2}(\mathbf{u}\underset{\mathbf{X}}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}+\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{X}})$

أو

$E_{KL}=\frac{1}{2}(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+\frac{\partial U_M}{\partial X_K}\frac{\partial U_M}{\partial X_L})\approx \frac{1}{2}(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K})$

و

$\mathbf{e}=\frac{1}{2}(\mathbf{u}\underset{\mathbf{x}}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}+\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{x}}-\mathbf{u}\underset{\mathbf{x}}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{x}})\approx \frac{1}{2}(\mathbf{u}\underset{\mathbf{x}}{\overset{T}{\mathrm{\nabla }}}+\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{x}})$

أو

$e_{rs}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_r}{\partial x_s}+\frac{\partial u_s}{\partial x_r}-\frac{\partial u_k}{\partial x_r}\frac{\partial u_k}{\partial x_s})\approx \frac{1}{2}(\frac{\partial u_r}{\partial x_s}+\frac{\partial u_s}{\partial x_r})$

تقتضي هذه الخطية بأن الوصف اللاغرانجي والوصف الأويلري تكون نفسها تقريبا طالما هناك فرق بسيط في المادة والإحداثيات المكانية لنقطة مادة معطاة في المتصل. لهذا، تكون مركبات التدرج الإزاحي المادي والمكاني متساوية تقريبا وعليه

$\mathbf{E}\approx \mathbf{e}\approx {\epsilon }=\frac{1}{2}(\mathbf{u}{\mathrm{\nabla }}^T+\mathbf{u}\mathrm{\nabla })\text{or}{E}_{KL}\approx e_{rs}\approx {\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$

حيث ${\epsilon }_{ij}$ مركبات الإجهاد متناهي الصغر ${\epsilon }$, تدعى أيضا موتّر إجهاد كوشي, موتّر اجهاد خطي, أو موتّر إجهاد صغير.

${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})=[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\\ \end{array}]=[\begin{array}{ccc}& (\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1})& (\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1})\\ (\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2})& & (\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2})\\ (\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3})& (\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3})& \\ \end{array}]$

أو باستعمال علامات أخرى:

$[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\\ \end{array}]=[\begin{array}{ccc}& (\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x})& (\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x})\\ (\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y})& & (\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y})\\ (\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z})& (\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z})& \\ \end{array}]$

أبعد من ذلك،

${\epsilon }=\frac{1}{2}(\mathbf{F}+{\mathbf{F}}^T)-\mathbf{I}$

بأخذ تعبيري لاغرانج وأويلر محدودي الإجهاد بعين الاعتبار يصبح لدينا

${\mathbf{E}}_{(m)}=\frac{1}{2m}({\mathbf{U}}^{2m}-I)\approx \epsilon$

${\mathbf{e}}_{(m)}=\frac{1}{2m}({\mathbf{V}}^{2m}-I)\approx \epsilon$

الاشتقاق الهندسي لموتر الإجهاد المتناهي الصغر

شكل1. تشوه هندسي ثنائي البعد لعنصر مادي متناهي الصغر.

باعتبار تشوه ثنائي البعد لعنصر مادي مستطيل متناهي الصغر بالأبعاد $dx$ × $dy$ (شكل 1), والتي تأخذ شكل المعين بعد التشوه يكون

$\begin{array}{rr}\overline{ab}& =\sqrt{{(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx)}^2+{(\frac{\partial u_y}{\partial x}dx)}^2}\\ & =\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+{(\frac{\partial u_x}{\partial x})}^2+{(\frac{\partial u_y}{\partial x})}^2}dx\\ \end{array}$

في كل تدرج إزاحة صغير، $\left|\mathrm{\nabla }\mathbf{u}\right|\ll 1$, لدينا

$\overline{ab}\approx dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx$

يكون التشوه باتجاه العنصر المستطيل $x$-معرفا بـ

${\epsilon }_x=\frac{\overline{ab}-\overline{AB}}{\overline{AB}}$

وإذا علم أن $\overline{AB}=dx$, يصبح

${\epsilon }_x=\frac{\partial u_x}{\partial x}$

بالمثل، الإجهاد العمودي باتجاه $y$, وباتجاه $z$ يصبح

${\epsilon }_y=\frac{\partial u_y}{\partial y},{\epsilon }_z=\frac{\partial u_z}{\partial z}$

يعرف الإجهاد القصي الهندسي، التغير في الزاوية بين الخوط المتعامدة للمادة، في هذه الحالة الخط $\overline{AC}$ و$\overline{AB}$, تعرف بالعلاقة

${\gamma }_{xy}=\alpha +\beta$

من الشكل الهندسي 1 لدينا

$\tan \alpha =\frac{\frac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\frac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\frac{\partial u_x}{\partial x}},\tan \beta =\frac{\frac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\frac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\frac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\frac{\partial u_y}{\partial y}}$

للدورانات الصغيرة، أي $\alpha$ و$\beta$ و$\ll 1$ لدينا

$\tan \alpha \approx \alpha ,\tan \beta \approx \beta$

مرة أخرى، لتدرجات الإزاحة الصغيرة يكون لدينا

$\alpha =\frac{\partial u_y}{\partial x},\beta =\frac{\partial u_x}{\partial y}$

على ذلك

${\gamma }_{xy}=\alpha +\beta =\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}$

بالتبديل بين $x$ و$y$ و$u_x$ و$u_y$, يمكن اثبات أن ${\gamma }_{xy}={\gamma }_{yx}$

يمكن ملاحظة أن مركبات اجهاد القص الموترية لموتر الإجهاد متناهي الصغر يمكن التعبير عنها باستخدام التعريف الهندسي للإجهاد، $\gamma$, بالعلاقة

$[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\\ \end{array}]=[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\gamma }_{xy}/2& {\gamma }_{xz}/2\\ {\gamma }_{yx}/2& {\epsilon }_{yy}& {\gamma }_{yz}/2\\ {\gamma }_{zx}/2& {\gamma }_{zy}/2& {\epsilon }_{zz}\\ \end{array}]$

التفسير الفيزيائي

من نظرية الاجهاد المحدود لدينا

$d{\mathbf{x}}^2-d{\mathbf{X}}^2=d\mathbf{X}\cdot 2\mathbf{E}\cdot d\mathbf{X}\text{or}(dx{)}^2-(dX{)}^2=2E_{KL}d{X}_{K}d{X}_L$

وعليه لدينا من الإجهاد متناهي الصغر

$d{\mathbf{x}}^2-d{\mathbf{X}}^2=d\mathbf{X}\cdot 2{\epsilon }\cdot d\mathbf{X}\text{or}(dx{)}^2-(dX{)}^2=2{\epsilon }_{KL}d{X}_{K}d{X}_L$

بالقسمة على $(dX{)}^2$ يصبح

$\frac{dx-dX}{dX}\frac{dx+dX}{dX}=2{\epsilon }_{ij}\frac{d{X}_i}{dX}\frac{d{X}_j}{dX}$

للتشوهات الصغيرة نفرض أن $dx\approx dX$, يصبح الحد على الطرف الأيسر: $\frac{dx+dX}{dX}\approx 2$.

وعليه

$\frac{dx-dX}{dX}={\epsilon }_{ij}{N}_i{N}_j=\mathbf{N}\cdot {\epsilon }\cdot \mathbf{N}$

حيث$N_i=\frac{d{X}_i}{dX}$, متجه الوحدة باتجاه $d\mathbf{X}$, والجانب الأيسر من التعبير الإجهاد المتعامد $e_{(\mathbf{N})}$ باتجاه $\mathbf{N}$. في الحالة الخاصة من $\mathbf{N}$ في اتجاه $X_1$ أي $\mathbf{N}={\mathbf{I}}_1$, لدينا

$e_{({\mathbf{I}}_1)}={\mathbf{I}}_1\cdot {\epsilon }\cdot {\mathbf{I}}_1={\epsilon }_{11}$

بالمثل، $\mathbf{N}={\mathbf{I}}_2$ و$\mathbf{N}={\mathbf{I}}_3$ يمكن إيجاد ${\epsilon }_{22}$ و${\epsilon }_{33}$ للإجهاد العمودي على التوالي. لذلك، تكون العناصر القطرية لموتر الإجهاد العمودي هي الاجهادات العمودية باتجاه الاحداثيات.

التوتر الحجمي

إن التعرض (التغير النسبي في الحجم) هو أثر الموتر:

$\delta =\frac{\mathrm{\Delta }V}{V_0}={\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}$

في الواقع، إذا أخذنا مكعبا بعين الاعتبار بطول حافة a, فإنه شبه مكعب بعد التشوه (لا تتغير الزوايا في الحجم) مع الابعاد $a\cdot (1+{\epsilon }_{11})\times a\cdot (1+{\epsilon }_{22})\times a\cdot (1+{\epsilon }_{33})$ وV₀ = a³, وعليه

$\frac{\mathrm{\Delta }V}{V_0}=\frac{(1+{\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}+{\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{33}+{\epsilon }_{22}\cdot {\epsilon }_{33}+{\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{22}\cdot {\epsilon }_{33})\cdot a^3-a^3}{a^3}$

عندما نأخذ التشوهات الصغيرة بعين الاعتبار،

$1\gg {\epsilon }_{ii}\gg {\epsilon }_{ii}\cdot {\epsilon }_{jj}\gg {\epsilon }_{11}\cdot {\epsilon }_{22}\cdot {\epsilon }_{33}$

هي لذلك الصيغة.

التغيرات الحقيقية في الحجم (أعلى) والتقريب (الأسفل): يوضح الرسم الأخضر الحجم المقدر بينما الرسم البرتقالي يوضح الحجم المهمل

في حالة القص النقي، يمكن ملاحظة أنه لايوجد تغير في الحجم.

موتر محرف الإجهاد

موتر الإجهاد متناهي الصغر ${\epsilon }_{ij}$, يمكن التعبير عنه مثل التعبير عنيموتر الإجهاد كمجموع من موترين اخرين:

1. موتر الإجهاد المتوسط أوموتر الإجهاد الحجمي أو موتر الإجهاد الكروي, ${\epsilon }_M{\delta }_{ij}$, نسبة للتعرض أو التغير الحجمي; و
2. مركبة انحرافية موتر محرف الإجهاد, $\epsilon {\text{'}}_{ij}$, نسبة للتشويه.

${\epsilon }_{ij}=\epsilon {\text{'}}_{ij}+{\epsilon }_M{\delta }_{ij}$

حيث${\epsilon }_M$ متوسط الإجهاد المعطى بالعلاقة

${\epsilon }_M=\frac{{\epsilon }_{kk}}{3}=\frac{{\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}}{3}=\frac{1}{3}{I}_1^e$

يمكن الحصول على موتر محرف الإجهاد بطرح موتر متوسط الإجهاد من موتر الإجهاد متناهي الصغر:

$\begin{array}{rr}\epsilon {\text{'}}_{ij}& ={\epsilon }_{ij}-\frac{{\epsilon }_{kk}}{3}{\delta }_{ij}\\ [\begin{array}{ccc}\epsilon {\text{'}}_{11}& \epsilon {\text{'}}_{12}& \epsilon {\text{'}}_{13}\\ \epsilon {\text{'}}_{21}& \epsilon {\text{'}}_{22}& \epsilon {\text{'}}_{23}\\ \epsilon {\text{'}}_{31}& \epsilon {\text{'}}_{32}& \epsilon {\text{'}}_{33}\\ \end{array}]& =[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\\ \end{array}]-[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_M& 0& 0\\ 0& {\epsilon }_M& 0\\ 0& 0& {\epsilon }_M\\ \end{array}]\\ & =[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}-{\epsilon }_M& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}-{\epsilon }_M& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}-{\epsilon }_M\\ \end{array}]\\ \end{array}$

معادلات التوافق

بالنسبة لمركبات الإجهاد الموصوفة سابقا ${\epsilon }_{ij}$ تمثل معادلة موتر الإجهاد $u_{i,j}+u_{j,i}=2{\epsilon }_{ij}$ نظاما من ست معادلات تفاضلية لإيجاد مركبات الإزاحة الثلاث $u_i$, بإعطاء نظاما مكتمل التحقيق. لذت، لايوجد حل بشكل عام لمركبات اختيارية من الإجهاد. لهذا السبب، يتم افتراض بعض القيود والتي تدعى معادلات التوافق. بإضافة معادلات التوافق الثلاث، يتم إنقاص المعادلات المستقلة إلى ثلاثة، والتي تتلائم مع مركبات الإزاحة المجهولة. اكتشفت هذه القيود من قبل ساينت- فينات، كما يطلق عليها «معادلات توافق ساينت-فينات».

تفيد دالة التوافق في التأكد من دالة ازاحة متصلة وحيدة القيمة $u_i$. إذا كان الوسط المرن مرئيا على هيئة مكعبات متناهية الصغر في الحالة اللاجهادية، بعد اجهاد الوسط، قد لاينتج عن موتر اجهاد اختياري حالة تظل فيها المكعبات متسقة فيما بينها بدون تداخل.

بعلامة المعامل، يعبر عن معادلات التوافق

${\epsilon }_{ij,km}+{\epsilon }_{km,ij}-{\epsilon }_{ik,jm}-{\epsilon }_{jm,ik}=0$

العلامة الهندسية

$\frac{{\partial }^2{ϵ}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_y}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{xy}}{\partial x\partial y}$ $\frac{{\partial }^2{ϵ}_y}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_z}{\partial y^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{yz}}{\partial y\partial z}$ $\frac{{\partial }^2{ϵ}_x}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2{ϵ}_z}{\partial x^2}=2\frac{{\partial }^2{ϵ}_{zx}}{\partial z\partial x}$ $\frac{{\partial }^2{ϵ}_x}{\partial y\partial z}=\frac{\partial }{\partial x}(-\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z})$ $\frac{{\partial }^2{ϵ}_y}{\partial z\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}-\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}+\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z})$ $\frac{{\partial }^2{ϵ}_z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}(\frac{\partial {ϵ}_{yz}}{\partial x}+\frac{\partial {ϵ}_{zx}}{\partial y}-\frac{\partial {ϵ}_{xy}}{\partial z})$

توترالمستوى

في مركبات الهندسة التطبيقية، الاجهاد والتوتر هي موترات ثلاثية الأبعاد ولكن ذات بنية منشورية مثل قضيب معدني طويل، يكون الطول أكبر بكثير من البعدين الاخرين. يكون التوتر المصاحب للطول، أي التوتر العمودي ${ϵ}_{33}$ وتوترات القص ${ϵ}_{13}$ و${ϵ}_{23}$ (إذا كان الطول هو البعد الثالث) يتم مقارنتها بمادة أخرى قريبة وتكون أصغر بالمقارنة بالتوترات المقطعية العرضية. يمكن مقاربة موتر الإجهاد حينئذ بالعلاقة:

$\underset{\_}{\underset{\_}{ϵ}}=\left[\begin{array}{ccc}{ϵ}_{11}& {ϵ}_{12}& 0\\ {ϵ}_{21}& {ϵ}_{22}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

حيث تشير المعاملات ذات الخطوط المضاعفة إلى موتر من الرتبة الثانية. تدعى حالة التوتر توتر المستوى. يكون موتر الإجهاد المقابل هو:

$\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& 0\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& 0\\ 0& 0& {\sigma }_{33}\end{array}\right]$

حيث أن ${\sigma }_{33}$ الغير صفرية مطلوبة لإبقاء الثابت ${ϵ}_{33}=0$. يمكن إزالة هذا الحد مؤقتا من التحليل والإبقاء على حدود المستوى، إنقاص المسألة الثلاثية البعد بكفاءة إلى مسألة ثنائية البعد.

اجهاد ضد المستوى

المقالة الرئيسية: قص ضد المستوى

الإجهاد ضد أو عكس المستوى هو حالة مكانية أخرى من الإجهاد التي يمكن أن تحدث في جسم، مثلا في منطقة قريبة من الخلع. يعطى موتر الإجهاد لضد المستوى بالعلاقة

$\underset{\_}{\underset{\_}{ϵ}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& {ϵ}_{13}\\ 0& 0& {ϵ}_{23}\\ {ϵ}_{13}& {ϵ}_{23}& 0\end{array}\right]$

إنظر أيضا

• إجهاد (فيزياء)
• مقياس الانفعال
• نسبة بواسون
• منحني الإجهاد-الانفعال
• قانون هوك