معادلة حفظ الطاقة المدارية

في ديناميكا الفضاء ,معادلة حفظ الطاقة المدارية ((بالإنجليزية: Vis-viva equation)‏) هي أحد المعادلات الأساسية التي تحدد الحركة المدارية للأجسام.

معادلة حفظ الطاقة المدارية

معادلة حفظ الطاقة المدارية n لمدار كيبلرسواء كان بيضاوي الشكل أو قطع مكافئ أو قطع زائد أوشعاعي هي :

$v^2=G(M+m)(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})$

• $v$ السرعة النسبية للجسمين
• $r$ المسافة الفاصلية بين جسمين
• $a$ محور شبه رئيسي (a>0 في حالةقطع ناقص، $a=\mathrm{\infty }$ أو $\frac{1}{a}$=0 لـ قطع مكافئ،و a<0 لـ قطع زائد)
• $G$ ثابت الجاذبية
• $M,m$ كتلة الجسيمين

استنتاج المعادلة

طاقة المدار الكلية هي مجموع الطاقة الكامنة المشتركة والطاقة الحركية للجسم الأول M والجسم الثاني m وتعطى بالمعادلة التالية :

$E=\frac{-GMm}{r}+\frac{M(v_M{)}^2}{2}+\frac{m(v_m{)}^2}{2}$

• $v_M$ سرعة الجسم M.
• $v_m$ سرعة الجسم m

ويمكن حساب طاقة المدار باستخدام كميات نسبية

$E=\frac{-GMm}{r}+\mu \frac{v^2}{2}$

• $v$ السرعة النسبية للكتلتين
• $\mu =\frac{Mm}{M+m}$ كتلة مخفضة

بينما تكون الطاقة الكلية للمدار الإهليجي أو الدائري

$E=\frac{-GMm}{2a},$

• $a$ شبه المحور الرئيسي.

$ϵ=\frac{v^2}{2}-\frac{G(M+m)}{r}$

$ϵ=\frac{-G(M+m)}{2a}$

وبمساواة المعادلتين السابقتين نحصل على

$v^2=G(M+m)(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}).$