معادلة تسالكوفسكي الصاروخية

معادلة تسالكوفسكي الصاروخية، أو معادلة الصاروخ المثالي (Tsiolkovsky rocket equation)، تصف حركة العربات التي تتبع المبدأ الأساسي للصاروخ: آلة قادرة على تزويد نفسها بالتسارع (كدفع) عبر نفث بعض كتلتها بسرعة عالية وتندفع بالتالي وفقا لمبدأ حفظ كمية الحركة. تربط المعادلة دلتا-في مع سرعة النفث الفعال والكتلة الابتدائية والنهائية للصاروخ (أو أي محرك رد فعلي).

لأي قيادة من هذا النوع (أو رحلة تدخل فيها مراحل من هذه القيادة):

Δ v = v_{e} \ln \frac{m_{0}}{m_{f}}

حيث:

Δ v

دلتا-في - التغير الأعظمي في السرعة للعربة (في غياب قوى خارجية مؤثرة).

m_{0}

الكتلة الابتدائية متضمنة المادة الدافعة.

m_{f}

الكتلة النهائية بدون المادة الدافعة، تعرف أيضا بالكتلة الجافة.

v_{e}

سرعة النفث الفعالة.

\ln

ترمز لدالة اللوغاريتم الطبيعي.

(يمكن أيضا كتابة المعادلة بدلالة الدفع النوعي بدلا من سرعة النفث بالصيغة $v_{e} = I_{sp} \cdot g_{0}$ حيث $I_{sp}$ هو الدفع النوعي معبرا عنه بدلالة الزمن و $g_{0}$ الجاذبية القياسية ≈ 9.8 m/s².)

الاشتقاق

باعتبار المنظومة:

في هذا الاشتقاق نشير بعبارة «الصاروخ» إلى «الصاروخ وكل مادته الدافعة غير المحترقة».

يربط قانون نيوتن للحركة بين القوى الخارجية ( $F_{i}$ ) وبين التغير في الزخم الخطي للنظام ككل (بما في ذلك خرج أو نفث الصاروخ) كما يلي:

\sum F_{i} = lim_{Δ t \to 0} \frac{P_{2} - P_{1}}{Δ t}

حيث $P_{1}$ هو كمية حركة الصاروخ عند زمن t=0:

P_{1} = (m + Δ m) V

و $P_{2}$ زخم الصاروخ والكتلة المنفوثة في زمن $t = Δ t$ :

P_{2} = m (V + Δ V) + Δ m V_{e}

وحيث يكون بالنسبة للراصد:

V

سرعة الصاروخ في زمن t=0

V + Δ V

سرعة الصاروخ في زمن

t = Δ t

V_{e}

سرعة الكتلة المضافة للنفث (وتفقد من قبل الصاروخ) خلال زمن

Δ t

m + Δ m

كتلة الصاروخ في زمن t=0

m

كتلة الصاروخ في زمن

t = Δ t

سرعة الخرج $V_{e}$ في إطار الراصد لها علاقة بسرعة الخرج في إطار الصاروخ $v_{e}$ بمقدار (حيث أن سرعة النفث في الاتجاه السالب)

V_{e} = V - v_{e}

ينتج الحل:

P_{2} - P_{1} = m Δ V - v_{e} Δ m

و باستعمال $d m = - Δ m$ ، حيث أن إخراج كمية موجبة $Δ m$ ينجم عنه نقصان في الكتلة،

\sum F_{i} = m \frac{d V}{d t} + v_{e} \frac{d m}{d t}

في غياب القوى الخارجية تكون $\sum F_{i} = 0$ (حفظ كمية الحركة الخطية) و

m \frac{d V}{d t} = - v_{e} \frac{d m}{d t}

بافتراض ثبات $v_{e}$ ، بالإمكان إجراء التكامل للحصول على:

Δ V = v_{e} \ln \frac{m_{0}}{m_{1}}

أو بصورة مكافئة

m_{1} = m_{0} e^{- Δ V / v_{e}}

or

m_{0} = m_{1} e^{Δ V / v_{e}}

or

m_{0} - m_{1} = m_{1} (e^{Δ V / v_{e}} - 1)

حيث $m_{0}$ هي الكتلة الابتدائية الإجمالية متضمنة المادة الدافعة، $m_{1}$ الكتلة الإجمالية النهائية، و $v_{e}$ سرعة نفث الصاروخ نسبة إلى الصاروخ (الدفعة النوعي، أو إن قسناه زمنيا، يكون ذلك المضروب في تسارع الجاذبية).

القيمة $m_{0} - m_{1}$ تمثل إجمالي الكتلة المبددة وبالتالي:

M_{f} = 1 - \frac{m_{1}}{m_{0}} = 1 - e^{- Δ V / v_{e}}

حيث $M_{f}$ جزء كتلة المادة الدافعة (جزء من الكتلة الإجمالية الأولية التي أُنْفِقَت في صورة كتلة شغالة).

انظر أيضا

روابط خارجية

معادلة تسالكوفسكي الصاروخية

الاشتقاق

انظر أيضا

روابط خارجية

قائمة التصفح

بحث