معادلات الحقل لأينشتاين

معادلات الحقل لأينشتاين (EFE) أو معادلات أينشتاين هي مجموعة عشر معادلات في نظرية ألبرت أينشتاين للنسبية العامة والتي تصف التآثر الأساسي في الجاذبية جراء تقوس الزمكان مع كل من المادة والطاقة. نشرت بداية بواسطة أينشتاين في 1915 على أنها معادلة موتر، تعادل EFE انحناء الزمكان (يعبر عنها ب موتر آينشتين) مع الطاقة وكمية التحرك ضمن ذلك الزمكان (المعبر عنها بموتر الإجهاد-الطاقة).

وبشكل مشابه لكيفية إيجاد المجالات الكهرومغنطيسية باستعمال الشحنات والتيارات من خلال معادلات ماكسويل, تستعمل EFE لإيجاد الهندسة الفضائية للزمكان من وجود الكتلة-والطاقة وكمية التحرك الخطي، أي أنها تعطي الموتر المتري للزمكان بدلالة ترتيب من الإجهاد-والطاقة في الزمكان. تسمح العلاقة بين الموتر المتري وموتر آينشتين بكتابة معادلات آينشتين كمجموعة من معادلات تفاضلية لاخطية عند استخدامها بهذه الطريقة.حلول EFE تمثل مركبات الموتر المتري. المقذوفات العطالية للجسيمات وجيوديسيا الإشعاع في الهندسة التحليلية الناتجة تحسب بعد ذلك باستعمال المعادلة الجيوديسية.

إضافة لامتثالها لقوانين بقاء كمية التحرك-والطاقة، تنخفض EFE إلى قانون الجذب العام لنيوتن حيثما يكون المجال الثقالي ضعيفاً والسرعات أقل بكثير من سرعة الضوء.

تتضمن الحلول التقنية لمعادلات آينشتين للمجال تبسيط الفرضيات مثل التماثل. الفصول الخاصة بالحلول الدقيقة تدرس غالباً عندما تمثل بنماذج ذات ظواهر ثقالية عديدة، مثل الثقوب السوداء الدوارة والتوسع الكوني.

يمكن الحصول على تبسيطات أفضل بتقريب الزمكان الفعلي كزمكان مسطح ذي انحراف صغير خالصين إلى EFE خطي. تستعمل هذه المعادلات لدراسة ظواهر مثل الموجات الثقالية.

الصورة الرياضياتية

يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال (EFE) على الصورة:

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

معادلات حقل أينشتاين على حائط في ليدن بهولندا

حيث $R_{\mu \nu }$ تمثل انحناء ريكسي، $R$ انحناء قياسي، $g_{\mu \nu }$ موتر متري، $\mathrm{\Lambda }$ يمثل ثابت كوني، $G$ ثابت الجذب العام، $c$ هي سرعة الضوء، و$T_{\mu \nu }$ موتر انفعال-طاقة.

EFE هي معادلة موتر تربط بين مجموعة من موترات 4 x 4 تماثلية، تكتب باستعمال علامة معامل مجردة. لكل موتر توجد 10 مركبات مستقلة. بمعلومية حرية الاختيار لإحداثيات الزمكان الأربعة، تنخفض المعادلات المستقلة إلى 6 عددياً.

بالرغم من أن معادلات آينشتين للمجال تمت صياغتها في السياق بداية من نظرية رباعية الأبعاد، فقد قام بعض النظريين بتوسيع نتائجها إلى n من الأبعاد. المعادلات في السياق خارج النسبية العامة لا زال يشار إليها بمعادلات آينشتين للمجال. تقوم معادلات مجال الفراغ بتعريف تشعبات آينشتين.

بالرغم من المنظر البسيط الذي تبدو عليه المعادلات، إلّا أنها معقدة في الواقع. إذا علم توزيع معين للمادة والطاقة على هيئة موتر إجهاد-طاقة فإن EFE تفهم على أنها معادلاتان للموتر المتري $g_{\mu \nu }$، لما كانت كلتيهما موتر ريكسي والانحناء القياسي معتمدة على على المتري بطريقة لا خطية معقدة، في الحقيقة، عند كتابتها كلياً، فإنEFE تمثل منظومة من 10 معادلات تفاضلية جزئية، مرتبطة لا خطية، مكافئة-بيضوية.

يمكن للمرء كتابة EFE بصورة أكثر اندماجية بتعريف موتر آينشتين

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu },$

وهو مؤثر تماثلي من الرتبة الثانية بشكل دالة في المتري. يمكن حينئذ كتابة EFE بالصورة

$G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$

حيث تم اختزال الحد الكوني إلى موتر إجهاد-طاقة في طاقة مظلمة.

باستعمال وحدات هندسية حيث G = c = 1, يمكن إعادة كتابتها كما يلي

$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }.$

التعبير الأيسر يمثل تقوس الفضاء والزمان (الزمكان) الذي يتم إيجاده من المتري بينما التعبير على الطرف الأيمن يمثل محتوى الطاقة\المادة من الزمكان. بالتالي يمكن تفسير EFE كمجموعة من المعادلات تملي علينا كيفية ارتباط تقوس الزمكان بمحتوى المادة\الطاقة في الكون.

هذه المعادلات مع المعادلة الجيوديسية, تشل نواة التصييغ الرياضياتي في النسبية العامة.

اصطلاح الإشارة

يمثل الشكل السابق من EFE المعيار الذي تم تأسيسه في كتاب مسنر, ثورن, وويلر. قام المؤلفون بتحليل جميع الاصطلاحات الموجودة وصنفوها وفقاً للأإشارات الثلاث التاليةS1, S2, S3:

$g_{\mu \nu }=[S1]\times \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(-1,+1,+1,+1)$

${R^{\mu }}_{a\beta \gamma }=[S2]\times (\underset{a\gamma ,\beta }{\overset{\mu }{\mathrm{\Gamma }}}-\underset{a\beta ,\gamma }{\overset{\mu }{\mathrm{\Gamma }}}+\underset{\sigma \beta }{\overset{\mu }{\mathrm{\Gamma }}}\underset{\gamma a}{\overset{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}}-\underset{\sigma \gamma }{\overset{\mu }{\mathrm{\Gamma }}}\underset{\beta a}{\overset{\sigma }{\mathrm{\Gamma }}})$

$G_{\mu \nu }=[S3]\times \frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

الإشارة الثالثة أعلاه تتعلق باختيار الاصطلاح لموتر ريكسي:

$R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^a}_{\mu a\nu }$

حيث أن هذه التعريفات كتاب مسنر, ثورن, وويلر تصنف نفسها على أنها $(+++)$, حيث Weinberg (1972) هي $(+--)$, Peebles (1980) وEfstathiou (1990) هي $(-++)$ بينما Peacock (1994), Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) هي $(-+-)$.

استخدم المؤلفون بما فيهم آينشتين إشارة مختلفة في تعريفهم لموتر ريكسي والذي نتج عنه أن أصبحت إشارة الثابت على الطرف الأيمن سالبة

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R-g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=-\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

إشارة الحد الكوني (الصغير جداً) قد تتغير في كل هذه الإصدارات، إذا استعملنا اصطلاح الإشارة المتري +--- بدلاً عن MTW −+++ اصطلاح الإشارة المتري المتبنى هنا.

صيغ مكافئة

يمكن كتابة معادلات آينشتين للمجال بالصورة (التقفي العكسي) المكافئة التالية:

$R_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{c^4}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu })$

والتي يمكن أن تكون أكثر ملائمة في بعض الأحيان (مثلاً، عندما يهتم المرء بحد المجال الضعيف ويمكنه إبدال $g_{\mu \nu }$ in التعبير على الطرف الأيمن بموتر مينكوسكي دونما فقد ملحوظ للدقة).

الثابت الكوني

قام آينشتين بتعديل معادلاته الأصلية للمجال كي تتضمن حداً كونياً متناسباً مع المتري

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+g_{\mu \nu }\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.$

الثابت $\mathrm{\Lambda }$ يعد ثابت كوني. لأن $\mathrm{\Lambda }$ ثابتاً، فلن يتأثر مبدأ حفظ الطاقة.

ثابت الحد الكوني كان آينشتين قد قدمه أصلاً لوصف كون ساكن (بمعنى أنه لا يتمدد ولا ينكمش). لم يكن هذا المجهود ناجحاً لسببين: الكون الساكن في هذه النظرية لم يكن مستقراً حيث أكدت مراقبة المجرات البعيدة بواسطة هوبل بعد عقد من الزمن أن كوننا ليس ساكناُ في الحقيقة بل أنه يتوسع. بالتالي تم التخلي عن $\mathrm{\Lambda }$، والتي أطلق علها آينشتين "أفضع خطأ فادح أرتكبه". ولأعوام عديدة ظل الثابت الكوني متفق على أنه 0 تقريباً.

بعيداً عن حماسة آينشتين'المضللة في تقديم حد الثابت الكوني، لايوجد ما يتعارض مع حد كهذا في المعادلة. في الواقع، هناك تقنيات فلكية متطورة حديثة قد وجدت أن القيمة الموجبة لـ $\mathrm{\Lambda }$ ضرورية لتفسير بعض المشاهد.

كان آينشتين يعتقد بأن الثابت الكوني ويسيط مستقل، لكن حده في المعادلة يمكن أن ينتقل أيضاً إلى الطرف الآخر جبرياً، المكتوب كجزء من موتر الإجهاد-الطاقة:

$T_{\mu \nu }^{\mathrm{(}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{)}}=-\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^4}{8\pi G}{g}_{\mu \nu }.$

تعتبر طاقة الفراغ ثابتة بالعلاقة

${\rho }_{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{\Lambda }{c}^2}{8\pi G}$

بالتالي فإن وجود ثابت كوني ذا طاقة فراغ لا صفرية.اليوم تستعمل الحدود في النسبية العامة بشكل تبادلي.

خصائص

حفظ الطاقة وكمية الحركة

النسبية العامة متطابقة مع مبدأي حفظ الطاقة كمية الحركة المحلية المعبر عنهما بالعلاقات

${\mathrm{\nabla }}_b{T}^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0$.

اشتقاق انحفاظية الطاقة-كمية التحرك المحلية

بتقليص متطابقة بيانشي التفاضلية

$R_{ab[cd;e]}=0$

مع $g^{ac}$ نحصل على, وبفضل الحقيقة القائلة أن الموتر المتري هو ثابت تبايني، أي$g^{ab}{}_{;c}=0$,

$R^c{}_{bcd;e}+R^c{}_{bec;d}+R^c{}_{bde;c}=0$

يسمح نقيض تماثل موتر ريمان للحد الثاني في التعبير السابق بإعادة كتابته على الصورة:

$R^c{}_{bcd;e}-R^c{}_{bce;d}+R^c{}_{bde;c}=0$

وهي مكافئة للعلاقة

$R_{bd;e}-R_{be;d}+R^c{}_{bde;c}=0$

باستعمال تعريفموتر ريكسي.

بالاختصار مرة أخرى بالمتري

$g^{bd}(R_{bd;e}-R_{be;d}+R^c{}_{bde;c})=0$

لتحصيل

$R^d{}_{d;e}-R^d{}_{e;d}+R^{cd}{}_{de;c}=0$

تعريفات موتر ريمان وقياسي ريكسي تبين لنا أن

$R_{,e}-2R^c{}_{e;c}=0$

ويمكن إعادة كتابتها بالصورة

$(R^c{}_e-\frac{1}{2}{g}^c{}_{e}R{)}_{;c}=0$

اختصار أخير $g^{ed}$ يعطي

$(R^{cd}-\frac{1}{2}{g}^{cd}R{)}_{;c}=0$

والتي تعطينا من التماثل بين الحاصرتين وتعريف موتر آينشتين -بعد إعادة عنونة المعاملات

$G^{ab}{}_{;b}=0$

باستعمال EFE, يعطينا هذا مباشرة

${\mathrm{\nabla }}_b{T}^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0$

وهي تعبر عن بقاء الطاقة-الإجهاد. يعد قانون البقاء هذا متطلباً فيزيائياً. بفضل معادلاته للمجال تأكد آينشتين بأن النسبية العامة متوافقة مع شرط البقاء هذا.

اللاخطية

إن عدم خطية معادلات آينشتين للمجال يميز النسبية العامة عن نظريات فيزيائية أخرى عديدة. على سبيل المثال، معادلات ماكسويل للكهرومغنطيسية تكون خطية في توزيعات المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي والشحنة والتيار. (أي أن مجموع الحلين هو حل أيضاً); مثال آخر هو معادلة شرودنجر في ميكانيكا الكم والتي هي خطية في دالة الموجة.

مبدأ التوافق

تنخفض EFE إلى قانون الجذب العام لنيوتن باستعمال كل من تقريب المجال الضعيف وتقريب الحركة البطيئة. في الواقع، الثابت الذي يظهر في EFE نحصل عليه بفعل هذين التقريبين.

اشتقاق قانون الجذب العام لنيوتن

يمكن صياغة الجاذبية النيوتينية كنظرية مجال قياسي، $\mathrm{\Phi }$، والتي هي توتر الجاذبية بوحدات الجول لكل كيلوغرام.

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }[\overrightarrow{x},t]=4\pi G\rho [\overrightarrow{x},t]$

حيث$\rho$ كثافة الكتلة. يحقق مدار السقوط الحر العلاقة

$\ddot{\overrightarrow{x}}[t]=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }[\overrightarrow{x}[t],t].$

، بعلامات الموتر تصبح

${\mathrm{\Phi }}_{,ii}=4\pi G\rho$

$\frac{d^2{x}^i}{d^t}=-{\mathrm{\Phi }}_{,i}.$

تستبدل هذه المعادلات في النسبية العامة بمعادلات مجال آينشتين بصورة انعكاس الأثر

$R_{\mu \nu }=K(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}T{g}_{\mu \nu })$

لثابت ما، K، و معادلة جيوديسية

$\frac{d^2{x}^{\alpha }}{d^{\tau }}=-\underset{\beta \gamma }{\overset{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}}\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }\frac{d{x}^{\gamma }}{d\tau }.$

لتوضيح كيفية اختصار هذه الأخيرة، إلى السابقة نفترض أن سرعة عينة الجسيم هي صفر تقريبا:

$\frac{d{x}^{\beta }}{d\tau }\approx (\frac{dt}{d\tau },0,0,0)$

وعليه

$\frac{d}{dt}(\frac{dt}{d\tau })\approx 0$

والمتري ومشتقاته هي ساكنة تقريباً وأن مربعات الانحراف من متري منسكوسكي مهملة. بتطبيق فرضيات التبسيط هذه على المركبات المكانية للمعادلة الجيوديسية يعطينا

$\frac{d^2{x}^i}{d^t}\approx -\underset{00}{\overset{i}{\mathrm{\Gamma }}}$

حيث أن عاملين من $\frac{dt}{d\tau }$ قد تمت قسمتهما. هذا يخفضها إلى نظيرتها النيوتنية، شريطة أن

${\mathrm{\Phi }}_{,i}\approx \underset{00}{\overset{i}{\mathrm{\Gamma }}}=\frac{1}{2}{g}^{i\alpha }(g_{\alpha 0,0}+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }).$

افتراضاتنا تجبر مشتقات α=i والزمن (0) على البقاء أصفار. على هذا الأساس تتبسط إلى

$2{\mathrm{\Phi }}_{,i}\approx g^{ij}(-g_{00,j})\approx -g_{00,i}$

والتي تتحقق بوضع

$g_{00}\approx -c^2-2\mathrm{\Phi }.$

بموائمتها بمعادلات آينشتين، سنحتاج فقط لمركبة الزمن-الزمن

$R_{00}=K(T_{00}-\frac{1}{2}T{g}_{00})$

تقتضي افتراضات السرعات المنخفضة والمجال الساكن أن

$T_{\mu \nu }\approx \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(T_{00},0,0,0)\approx \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\rho c^4,0,0,0).$

إذن

$T=g^{\alpha \beta }{T}_{\alpha \beta }\approx g^{00}{T}_{00}\approx \frac{-1}{c^2}\rho c^4=-\rho c^2$

وبالتالي

$K(T_{00}-\frac{1}{2}T{g}_{00})\approx K(\rho c^4-\frac{1}{2}(-\rho c^2)(-c^2))=\frac{1}{2}K\rho c^4.$

من تعريف موتر ريكسي

$R_{00}=\underset{00,\rho }{\overset{\rho }{\mathrm{\Gamma }}}-\underset{\rho 0,0}{\overset{\rho }{\mathrm{\Gamma }}}+\underset{\rho \lambda }{\overset{\rho }{\mathrm{\Gamma }}}\underset{00}{\overset{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}}-\underset{0\lambda }{\overset{\rho }{\mathrm{\Gamma }}}\underset{\rho 0}{\overset{\lambda }{\mathrm{\Gamma }}}.$

افتراضاتنا التبسيطية تنهي مربعات Γببعضها مع مشتقات الزمن

$R_{00}\approx \underset{00,i}{\overset{i}{\mathrm{\Gamma }}}.$

بدمج المعادلات السابقة

${\mathrm{\Phi }}_{,ii}\approx \underset{00,i}{\overset{i}{\mathrm{\Gamma }}}\approx R_{00}=K(T_{00}-\frac{1}{2}T{g}_{00})\approx \frac{1}{2}K\rho c^4$

والتي تنخفض إلى معادلة المجال النيوتيني بشرط

$\frac{1}{2}K\rho c^4=4\pi G\rho$

والذي سيتحقق إذا كان

$K=\frac{8\pi G}{c^4}.$

المصادر

راجع مصادر النسبية العامة.

• Aczel, Amir D., 1999. God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe. Delta Science. A popular account.
• تشارلز ميزنر، كيب ثورن, and جون أرتشيبالد ويلر, 1973. Gravitation. W H Freeman.

وصلات خارجية

• محاضرة حول معادلات أينشتاين للمجال على يوتيوب عبر معهد ماساتشوستس للتقنية أستاذ الفيزياء إدموند بيرشينغر.