مصفوفة ياكوبية

مصفوفة ياكوبية (بالإنجليزية: Jacobian matrix)‏ هي مصفوفة تعبر عن مشتق متجه من الدالات ولها أهمية كبيرة في الرياضيات والهندسة خاصة في إخطاط الأنظمة اللاخطية ودراستها وفي الرياضيات العددية.^[1]^[2]

المحددة الياكوبية (والتي تسمى على سبيل التبسيط بالياكوبية) هي محدد المصفوفة الياكوبية.

سُميت هذه المفاهيم هكذا نسبة لعالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.

أمثلة

لتكن الدالة $f : ℝ 2 \to ℝ 2$ المعرفة كما يلي

f (x, y) = [\begin{matrix} x^{2} y \\ 5 x + \sin y \end{matrix}] .

إذن

f_{1} (x, y) = x^{2} y

و

f_{2} (x, y) = 5 x + \sin y

والمصفوفة الياكوبية ل $F$ هي

J_{f} (x, y) = [\begin{matrix} [1 e m] \frac{\partial f_{2}}{\partial x} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 x y & x^{2} \\ 5 & \cos y \end{matrix}]

أما المحددة الجاكوبية فهي

det (J_{f} (x, y)) = 2 x y \cos y - 5 x^{2} .

التحويل من نظام إحداثي قطبي $(r, φ)$ إلى نظام إحداثي ديكارتي (x, y), توفره الدالة التالية $F : ℝ + \times [0, 2 π) \to ℝ 2$ حيث:

\begin{array}{r} x & = r \cos φ; \\ y & = r \sin φ . \end{array}

J_{F} (r, φ) = [\begin{matrix} [1 e m] \frac{\partial y}{\partial r} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos φ & - r \sin φ \\ \sin φ & r \cos φ \end{matrix}]

المحددة الياكوبية تساوي $r$ . هذا التساوي يستعمل من أجل تحويل التكاملات من نظام إحداثيات إلى آخر:

\iint_{F (A)} f (x, y) d x d y = \iint_{A} f (r \cos φ, r \sin φ) r d r d φ .

^ Arrowsmith، D. K.؛ Place، C. M. (1992). "The Linearization Theorem". Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. ص. 77–81. ISBN:0-412-39080-9.
^ Mathworld نسخة محفوظة 03 نوفمبر 2017 على موقع واي باك مشين.

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات او موضوع متعلق بها بحاجة للتوسيع. فضلًا شارك في تحريرها.