مجموعة كثيفة

المجموعة الكثيفة (بالإنجليزية: Dense set)‏، هي خاصية طوبولوجية تكون فيها مجموعة $A$ كثيفة داخل مجموعة $X$ إذا كانت $A$ ضمن $X$ وإذا كان كل عنصر من $A$ إما منتميا ل $X$ أو يمثل نقطة حد (Limit point) ل $A$. بمعنى أن $A$ تمكن من حصر (بالمعنى الجبري الطوبولوجي) جميع عناصر $X$.

تعريف

تعريف عام - طوبولوجي

باعتبار $X$ فضاء طوبولوجيا و $A\subset X$ جزءا منه، يكون $A$ كثيفا داخل $X$ ويقال أيضا $A$ كثيف في كل مكان، إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

• كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في $X$ تضم عناصر من $A$.
• $X$ هي غالق $A$ .
• كل نقطة في $X$ هي ملاصقة ل $A$
• مكملة $A$ داخلها فارغ

تعريف تحليلي

باعتبار $E$ فضاء متجهيا معياريا و $D\subset E$ جزءا منه، يكون $D$ كثيفا داخل $E$ إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

• لكل نقطة $x\in E$ توجد متتالية $(y_n)$ معرفة في $D$ تؤول في مالانهاية إلى $x$
• لكل نقطة $x\in E$ و كل $ϵ>0$ يوجد $y\in D$ يحقق $\Vert y-x\Vert \le ϵ$
• غالق $D$ ($\bar{D}$) يساوي $E$

يمكن تعميم التعريف للفضاءات القياسية بتعويض المعيار بالمسافة.

أمثلة

• مجموعة الأعداد الجذرية $\mathbb{\mathbb{Q}}$ كثيفة داخل مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{ℝ}$.
• الزمرة العامة الخطية، مجموعة المصفوفات القابلة للعكس، $G{L}_n(\mathbb{ℝ})$ كثيفة داخل مجموعة المصفوفات ${{ℳ}}_n(\mathbb{ℝ})$. وأيضا $G{L}_n(\mathbb{ℂ})$ داخل ${{ℳ}}_n(\mathbb{ℂ})$.

خاصيات

المقالة الرئيسية: مبرهنة ستون فايرستراس

• حسب مبرهنة ستون-فايرستراس، فإن فضاء الحدانيات كثيف داخل فضاء الدوال المتصلة المعرفة في المجال $[0,1]$ والتي مستقرها في $\mathbb{ℂ}$.