مجموعة قواعد في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم قاعدة الجمع في ميكانيكا الكم (بالإنجليزي: Sum rule in quantum mechanics) تصف الانتقالات بين مستويات,كما تستخدم لوصف العديد من الخصائص للأنظمة الفيزيائية الصلبة والذرية,النووية,نواة الذرة.

استنتاج مجموعة من القواعد

نفرض أن هاميلتونيان $\hat{H}$ له مجموعة من القيم متعامدة $|n⟩$ مع القيم الذاتية ${ϵ}_n$:

$\hat{H}|n⟩={ϵ}_n|n⟩.$

نحدد معكوس المؤثر الهرميتي $\hat{A}$

$\begin{array}{rr}{\hat{C}}^{(0)}& \equiv \hat{A}\\ {\hat{C}}^{(1)}& \equiv [\hat{H},\hat{A}]=\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\\ {\hat{C}}^{(k)}& \equiv [\hat{H},{\hat{C}}^{(k-1)}],k=1,2,\dots \end{array}$

نجد أن ${\hat{C}}^{(0)}$ مؤثر هرميتي لأنه يساوي القيمة $\hat{A}$ ولكن ${\hat{C}}^{(1)}$ مؤثر غير هيرميتي

${({\hat{C}}^{(1)})}^{†}=(\hat{H}\hat{A}{)}^{†}-(\hat{A}\hat{H}{)}^{†}=\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}=-{\hat{C}}^{(1)}.$

وبالاستقراء نجد

${({\hat{C}}^{(k)})}^{†}=(-1{)}^k{\hat{C}}^{(k)}$

أيضا

$⟨m\left|{\hat{C}}^{(k)}\right|n⟩=(E_m-E_n{)}^k⟨m|\hat{A}|n⟩.$

$|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2=⟨m|\hat{A}|n⟩⟨m|\hat{A}|n{⟩}^{\ast }=⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩.$

وباستخدام هذه العلاقة

$\begin{array}{rr}⟨m|[\hat{A},{\hat{C}}^{(k)}]|m⟩& =⟨m\left|\hat{A}{\hat{C}}^{(k)}\right|m⟩-⟨m\left|{\hat{C}}^{(k)}\hat{A}\right|m⟩\\ & ={\sum }_n⟨m\left|\hat{A}\right|n⟩⟨n\left|{\hat{C}}^{(k)}\right|m⟩-⟨m\left|{\hat{C}}^{(k)}\right|n⟩⟨n\left|\hat{A}\right|m⟩\\ & ={\sum }_n⟨m\left|\hat{A}\right|n⟩⟨n\left|\hat{A}\right|m⟩(E_n-E_m{)}^k-(E_m-E_n{)}^k⟨m\left|\hat{A}\right|n⟩⟨n\left|\hat{A}\right|m⟩\\ & ={\sum }_n(1-(-1{)}^k)(E_n-E_m{)}^k|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2.\end{array}$

يمكن كتابة النتيجة كالتالي :

$⟨m|[\hat{A},{\hat{C}}^{(k)}]|m⟩=\{\begin{array}{cc}0,& k\text{ is even}\\ 2{\sum }_n(E_n-E_m{)}^k|⟨m\left|\hat{A}\right|n⟩{|}^2,& k\text{ is odd}.\end{array}$

وبوضع $k=1$

$⟨m|[\hat{A},[\hat{H},\hat{A}]]|m⟩=2{\sum }_n(E_n-E_m)|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2.$

انظر أيضا

• قوة التذبذب