مثنوية (هندسة إسقاطية)

  لمعانٍ أخرى، طالع مثنوية (توضيح).

في الهندسة، من خصائص المستويات الإسقاطية تناظر الأدوار التي تلعبها الخطوط والنقاط في التعريفات والنظريات. مصطلح المثنوية هو محاولة إضفاء طابع رياضياتي رسمي على هذا المفهوم. هناك طريقتان لموضوع الازدواجية، أحدهما من خلال اللغة (§ Principle of duality) والآخر نهج أكثر صرامة من خلال التطبيقات الخاصة. الطريقتان متكافئتان.

مبدأ المثنوية

يمكن تعريف المستوى الإسقاطي C تسليمياً على أنه بنية وقوع بالنسبة لمجموعة P من النقاط، ومجموعة L من الخطوط. وعلاقة الوقوع I التي تحدد النقاط التي تقع على أي خطوط. يمكن استخدام هذه المجموعات لتحديد بنية مستوية مثنوية.

بدّل بين أدوار «النقاط» و «الخطوط» في

C = (P, L, I)

للحصول على الهيكل المثنوي

C^∗ = (L, P, I^∗),

حيث I^∗ هي العلاقة العكسية لـ I C^∗ هو أيضًا مستوى إسقاطي يسمى المستوى المزدوج لـ C

مبرهنات مثنوية

بما أنّ المستوى الإسقاطي الحقيقي، PG(2, R) هو مثنوي ذاتياً، فإن هناك عدداً من أزواج المبرهنات المعروفة التي تكون مثنويةً لبعضها بعضاً. مثل:

• مبرهنة ديزارغ ⇔ عكس مبرهنة ديزارغ
• مبرهنة باسكال ⇔ مبرهنة بريانشون
• نظرية مينيلوس ⇔ مبرهنة سيفا

انظر أيضاً

• منحنى مثنوي

مراجع

• Artin ، E. (1957) Geometric Algebra ، الفصل 1.4 «الثنائية والاقتران» عبر Internet Archive
• 0-486-44565-8
• 978-0-387-76364-4
• 978-0-486-43832-0
• 0-88385-600-X
• 3-540-61786-8
• 978-0-19-850295-1
• 0-387-90044-6
• 0-387-96752-4

قراءة متعمقة

• Albert، A. Adrian؛ Sandler، Reuben (1968)، An Introduction to Finite Projective Planes، New York: Holt, Rinehart and Winston
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
• Bennett، M.K. (1995). Affine and Projective Geometry. New York: Wiley. ISBN:0-471-11315-8.
• Beutelspacher، Albrecht؛ Rosenbaum، Ute (1998). Projective Geometry: from foundations to applications. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:0-521-48277-1.
• Casse، Rey (2006)، Projective Geometry: An Introduction، New York: Oxford University Press، ISBN:0-19-929886-6
• Cederberg، Judith N. (2001). A Course in Modern Geometries. New York: Springer-Verlag. ISBN:0-387-98972-2.
• Coxeter, H. S. M., 1995. The Real Projective Plane, 3rd ed. Springer Verlag.
• Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. (ردمك 978-0-387-40623-7).
• Coxeter، H. S. M. (1969). Introduction to Geometry. New York: John Wiley & Sons. ISBN:0-471-50458-0.
• Garner، Lynn E. (1981). An Outline of Projective Geometry. New York: North Holland. ISBN:0-444-00423-8.
• Greenberg, M. J., 2007. Euclidean and non-Euclidean geometries, 4th ed. Freeman.
• Hartshorne، Robin (2009)، Foundations of Projective Geometry (ط. 2nd)، Ishi Press، ISBN:978-4-87187-837-1
• Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
• Kárteszi، F. (1976)، Introduction to Finite Geometries، Amsterdam: North-Holland، ISBN:0-7204-2832-7
• Mihalek، R.J. (1972). Projective Geometry and Algebraic Structures. New York: Academic Press. ISBN:0-12-495550-9.
• Ramanan، S. (أغسطس 1997). "Projective geometry". Springer India. ج. 2 ع. 8: 87–94. DOI:10.1007/BF02835009. ISSN:0971-8044.
• Stevenson، Frederick W. (1972)، Projective Planes، San Francisco: W.H. Freeman and Company، ISBN:0-7167-0443-9
• Veblen، Oswald؛ Young، J. W. A. (1938). Projective geometry. Boston: Ginn & Co. ISBN:978-1-4181-8285-4. مؤرشف من الأصل في 2022-10-02.

روابط خارجية

Weisstein, Eric W. "Duality Principle". MathWorld.