متطابقة بيزو

  ميّز عن مبرهنة بيزو.

متطابقة بيزو

متطابقة بيزو (بالإنجليزية: Bézout's identity)‏ هي مبرهنة في نظرية الأعداد الابتدائية. ليكن a و b عددين صحيحين وليكن d قاسمهما المشترك الأكبر، إذن يوجد عددان صحيحان x و y يحققان الصيغة التالية:

$ax+by=d$

x و y يسميان معاملا بوزو بالنسبة ل a و b.

سميت هاته المتطابقة وهذه المعاملات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي إيتيان بيزو.

وخلال قيامه بأبحاث حول قابلية القسمة بالنسبة للحدوديات أعطى برهانا للمبرهنة التي تحمل اسمه وهي كالتالي:

$a\wedge b=1\iff (\mathrm{\exists }(u,v)\in \mathbb{Z}{\text{2}}^{}):au+bv=1$

التاريخ

أول برهان معروف حاليا لهذه المتطابقة يعود الفضل فيه لكلود غاسبارد باشي دي ميزيرياك. وقد ورد في الطبعة الثانية لكتابه Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres الذي طبع سنة 1624.

في القرن 18، عمم إيتيين بوزو هذه النتيجة، وبخاصة على الحدوديات.

عدم وحدانية الحلول

انطلاقا من حل خاص (m, n)، من السهل إيجاد كل الحلول الأخرى:

$a(m-k\frac{b}{d})+b(n+k\frac{a}{d})=d$

حيث k متغير في Z.

مبرهنة بيزو (Bézout)

a وb عددان صحيحان غير منعدمين، لدينا:

$GCD(a,b)=1\iff \mathrm{\exists }(u,v)\in {\mathbb{Z}}^{2}au+bv=1$.

• مثال

ليكن العددان الصحيحان $a=7$ و$b=9$

باختيار $u=4$ و $v=-3$ لدينا $au+bv=1$ ومنه العددان 7 و9 أوليان فيما بينهما.

تعميمات

يمكن تعميم متطابقة بوزو لأكثر من عنصرين: إذا كان

$gcd(a_1,a_2,\dots ,a_n)=d$

فإن هناك أعداداً صحيحة نسبية $x_n,\dots ,x_1$ بحيث:

$d=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n$.

بتعبير آخر: $d$ هو أصغر عدد صحيح موجب يكتب كتأليفة خطية للأعداد $a_n,\dots ,a_1$ بمعاملات صحيحة.

انظر أيضا

• المبرهنة الأساسية في الحسابيات
• موضوعة أقليدس
• طريقة بوزو

مراجع

https://fr.wikiversity.org/wiki/Arithm%C3%A9tique/Th%C3%A9or%C3%A8mes_de_B%C3%A9zout_et_Gauss