تضامنًا مع حق الشعب الفلسطيني |
متباينة هادفايغر-فنسلر
يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. (يناير 2022) |
في الرياضيات، متباينة هادفايغر-فنسلر (بالإنجليزية: Hadwiger–Finsler inequality) هي نتيجة في هندسة المثلثات في المستوى الإقليدي، تنص على أنه في مثلث في المستوى، أطوال أضلاعه b و a و c و مساحته A، تتحقق المتراجحة التالية:
متباينة فايتزينبوخ هي نتيجة بسيطة لمتباينة هادفايغر-فنسلر: إذا كانت b, a و c أطوال أضلاع مثلث في المستوى و A مساحته، فإن:
سميت متباينة هادفايغر-فنسلر هكذا نسبة إلى بول فنسلر وهوغو هادفايغر(1937).
برهان متفاوتة هادفايغر-فنسلر
من قانون جيب التمام نحصل على:
حيث هي الزاوية بين و . يمكن تحويل هذا إلى:
و لكون فإنَّ:
الآن تذكر أن
و
باستخدام هذا نحصل على:
بفعل هذا لكل أضلاع المثلث وبجمع المتساويات نحصل على:
و هما الزاويتان الأخريتان للمثلث. بما أن أنصاف زوايا المثلث أصغر من فإن دالة محدبة فلدينا:
باستخدام هذا نحصل على:
هذه هي متباينة هادفايغر-فنسلر.
مراجع
- Finsler، Paul؛ Hadwiger، Hugo (1937). "Einige Relationen im Dreieck". Commentarii Mathematici Helvetici. ج. 10 ع. 1: 316–326. DOI:10.1007/BF01214300.
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, (ردمك 9780883853429), pp. 84-86