متباينة غرونفل

متباينة غرونفل

سميت متباينة غرونفل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضياتي توماس هاكن غرونفل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المتبانية من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المتباينة في صيغتين: تكاملية، واشتقاقية.

تعتبر متباينة غرونفل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المتباينة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

الصيغة التكاملية

لو كانت، لكل $t_0\le t\le t_1$، $\varphi (t)\ge 0$ و$\psi (t)\ge 0$ دالتين مستمرتين حيث:

$\varphi (t)\le K+L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\varphi (s)\mathrm{d}s$

لكل $t_0\le t\le t_1$، حيث $K$ و$L$ ثابتين موجبين فإن :

$\varphi (t)\le K\exp (L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\mathrm{d}s)$

لكل $t_0\le t\le t_1$

الصيغة الاشتقاقية

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة:

$\varphi (t)\le K+L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\varphi (s)\mathrm{d}s$

فإن لدينا اللامساواة التالية:

$\frac{\mathrm{d}\varphi }{\mathrm{d}t}(t)\le L\psi (t)\varphi (t).$

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

$\varphi (t)\le \varphi (t_0)\exp (L\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\psi (s)\mathrm{d}s)$

لكل $t_0\le t\le t_1.$