مبرهنة فارينيون (ميكانيكا)

مبرهنة فارينون (بالإنجليزية:Varignon Theorem) هي مبرهنة وضعها عالم الرياضيات الفرنسي بيير فارينيون (1654م-1722م)، نًشرت عام 1687م في كتابه "Projet d'une nouvelle mécanique". تنص المبرهنة على أن عزم القوة عند أي نقطة يكون مساويًا لمجموع العزوم لمركباتها عند النقطة نفسها.

الإثبات

في مجموعة $N$ من متجهات القوة ${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2,...,{\mathbf{f}}_N$ التي تتفق في نقطة ما $\mathbf{O}$ في الفضاء. تكون محصلتها :

$\mathbf{F}=\sum _{i=1}^N{\mathbf{f}}_i$.

عزم الدوران لكل متجه فيما يتعلق بنقطة أخرى ${\mathbf{O}}_1$ هو :

${\mathrm{T}}_{O_1}^{{\mathbf{f}}_i}=(\mathbf{O}-{\mathbf{O}}_1)\times {\mathbf{f}}_i$.

إضافة عزم الدوران وسحب العامل المشترك $(\mathbf{O}-O_1)$ يرى المرء أن النتيجة يمكن التعبير عنها فقط من حيث $\mathbf{F}$, وهو في الواقع عزم الدوران $\mathbf{F}$ فيما يتعلق بهذه النقطة ${\mathbf{O}}_1$:

$\sum _{i=1}^N{\mathrm{T}}_{O_1}^{{\mathbf{f}}_i}=(\mathbf{O}-{\mathbf{O}}_1)\times (\sum _{i=1}^N{\mathbf{f}}_i)=(\mathbf{O}-{\mathbf{O}}_1)\times \mathbf{F}={\mathrm{T}}_{O_1}^{\mathbf{F}}$.

إثبات المبرهنة، أي مجموع عزم الدوران ${\mathbf{O}}_1$ هو نفس عزم الدوران لمجموع القوى حول نفس النقطة.

وصلات خارجية

• Varirgnon's Theorem at TheFreeDictionary.com
• Proof. Mechanics of Solids. S.S. Bhavikatti. (page 19)