لغارتم متعدد

في الرياضيات، يعد اللغارتم المتعدد أو متعدد اللغارتمات (بالإنجليزية: Polylogarithm)‏، المعروف أيضًا باسم دالة جونكيير نسبة لألفريد جونكيير (Alfred Jonquière)، دالة خاصة Li_s(z) من المرتبة s والعُمْدَة z. فقط من أجل القيم الخاصة لـ s، يُخْتَزَل اللغارتم المتعدد إلى دالة ابتدائية مثل اللغارتم الطبيعي أو دالة مُنْطَقَة. تظهر دالة اللغارتم المتعدد في الإحصاء الكمي على أنها الشكل المغلق لتكاملات إحصاء فيرمي وديراك وإحصاء بوز وأينشتاين، وتُعرف أيضًا باسم تكامل فيرمي-ديراك أو تكامل بوز-آينشتاين على الترتيب. في الديناميكا الكهربائية الكمية، يظهر اللغارتم المتعدد من المرتبة الطبيعية العدد في حساب العمليات التي تمثلها مخططات فاينمان عالية المرتبة.

• دوال اللغارتم المتعدد في المستوي العقدي
• ملف:Complex polylogminus3.jpg
  Li_-3(z)
• ملف:Complex polylogminus2.jpg
  Li_-2(z)
• ملف:Complex polylogminus1.jpg
  Li_-1(z)
• ملف:Complex polylog0.jpg
  Li₀(z)
• ملف:Complex polylog1.jpg
  Li₁(z)
• ملف:Complex polylog2.jpg
  Li₂(z)
• ملف:Complex polylog3.jpg
  Li₃(z)

تُعرَّف دالة اللغارتم المتعدد بمتسلسلة القوى بدلالة z، وهي أيضًا متسلسلة دركليه بدلالة s:

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}=z+\frac{z^2}{2^s}+\frac{z^3}{3^s}+\cdots$

هذا التعريف صالح للمرتبة العقدية الكيفية s ولجميع العُمَد العقدية z ذات |z| < 1؛ يمكن أن يمتد إلى |z| ≥ 1 من خلال عملية الامتداد التحليلي. (هنا يُفهم المقام k^s على أنه exp(s ln k)). تتضمن الحالة الخاصة s = 1 اللغارتم الطبيعي العادي، Li₁(z) = −ln(1−z)، في حين تسمى الحالات الخاصة s = 2 و s = 3 باللغارتم الثنائي (يشار إليه أيضًا باسم دالة سبنس Spence) واللغارتم الثلاثي ‏ على الترتيب. يأتي اسم الدالة من حقيقة أنه يمكن تعريفها أيضًا على أنها تكامل متكرر لنفسها:

${\mathrm{Li}}_{s+1}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{{\mathrm{Li}}_s(t)}{t}dt$

وبالتالي فإن اللغارتم المتعدد هو تكامل دالة تتضمن اللغارتم، وما إلى ذلك. بالنسبة للمراتب الصحيحة السالبة s، فإن اللغارتم المتعدد هو دالة مُنْطَقَة.