عدد توافقي

العدد التوافقي $H_n$ مع $n=\lfloor x\rfloor$ (الخط الأحمر) بحده المقارب $\gamma +\ln (x)$ (الخط الأزرق) بحيث $\gamma$ هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

في الرياضيات ، العدد التوافقي النوني هو مجموع مقلوبات أول n من الأعداد الطبيعية :$$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$بدءًا من n = 1 ، يبدأ تسلسل الأعداد التوافقية:$$1,\frac{3}{2},\frac{11}{6},\frac{25}{12},\frac{137}{60},\dots$$ترتبط الأعداد التوافقية بالمتوسط التوافقي في أن العدد التوافقي النوني هو أيضًا n مضروبة في مقلوب المتوسط التوافقي للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n .

تمت دراسة الأعداد التوافقية منذ العصور القديمة وهي مهمة في مختلف فروع نظرية الأعداد . يطلق عليها أحيانًا اسم متسلسلة توافقية ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة ريمان زيتا ، وتظهر في تعبيرات دوال خاصة مختلفة.

يمكن إعطاء قيمة تقريبية للعدد التوافقي النوني من خلال دالة اللوغاريتم الطبيعي وبالتالي فإن المتسلسلة التوافقية المصاحبة تنمو بلا حدود ، وإن كان ذلك ببطء. في عام 1737 ، استخدم ليونارد أويلر تباعد المتسلسلة التوافقية لتقديم برهان جديد على لانهاية الأعداد الأولية . امتد عمله إلى المستوى المعقد بواسطة برنارد ريمان في عام 1859 ، مما أدى مباشرة إلى فرضية ريمان الشهيرة حول توزيع الأعداد الأولية .

من خلال مسلمة برتراند يمكن إستنتاج أن ، باستثناء الحالة n = 1 ، فإن الأعداد التوافقية ليست أعدادًا صحيحة أبدًا.

خصائص الأعداد التوافقية

من خلال تعريها ، فإن الأعداد التوافقية تستوفي العلاقة$$H_{n+1}=H_n+\frac{1}{n+1}$$ترتبط الأعداد التوافقية بأعداد ستيرلنغ من النوع الأول من خلال العلاقة$$H_n=\frac{1}{n!}[\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}]$$الدوال التالية$$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}(\log x-H_n)$$تستوفي الخاصية$${f_n}^{\prime }(x)=f_{n-1}(x)$$خاصه$$f_1(x)=x(\log x-1)$$هو تكامل دالة اللوغاريثم الطبيعي.

الأعداد التوافقية تحقق متطابقات المتسلسلة$$\sum _{k=1}^n{H}_k=(n+1)H_n-n$$و$$\sum _{k=1}^n{H}_k^2=(n+1)H_n^2-(2n+1)H_n+2n$$

خصائص مرتبطة ب π

هناك العديد من صيغ الجمع اللانهائية التي تتضمن الأعداد توافقية و π :  $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n\cdot 2^n}=\frac{1}{12}{\pi }^2$$$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n^2}{(n+1{)}^2}=\frac{11}{360}{\pi }^4$$$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n^2}{n^2}=\frac{17}{360}{\pi }^4$$$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n^3}=\frac{1}{72}{\pi }^4$$

الحساب

هناك تمثيل تكاملي قدمه أويلر هو$$H_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx$$الصيغة أعلاه يمكن إشتقاقها من خلال المطابقة الجبرية البسيطة$$\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}$$باستخدام التعويض x = 1 − u ، هناك تعبير آخر لـ H_n هو$$\begin{array}{rr}{H}_n& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-(1-u{)}^n}{u}du\\ [6pt]& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}[-\sum _{k=1}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{k-1}]du=-\sum _{k=1}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{k-1}du\\ [6pt]& =-\sum _{k=1}^n(-1{)}^k\frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\end{array}$$

مراجع

• 978-0-201-89683-1
• إد سانديفر ، كيف فعل أويلر - تقدير مشكلة بازل (2003)