زمن محلي (رياضيات)

نهج بسيط لعملية ايتو Itō process مع سطح أزمنتها المحلية.

في النظرية الرياضياتية للعمليات العشوائية, يكون الزمن المحلي (بالإنجليزية: local time)‏ هو عبارة عن خاصية لعملية الانتشار مثل الحركة البراونية التي تميز الزمن التي تقضيها الجسيم عند مستوى معين. الزمن المحلي مفيد جداً و تظهر في الغالب في الصيغ التكاملية العشوائية المختلفة إذا كانت الكميّة المتكاملة سلسة بشكل صحيح, مثل ما هو موجود في صيغة تاناكا Tanaka's formula.

رسمياً, تعريف الزمن المحلي هو

$\ell (t,x)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\delta (x-b(s))ds$

حيث أن $b(s)$ هي عملية الانتشار و $\delta$ هي دالة ديراك دلتا Dirac delta function. و هي فكرة من اختراع باول بيار ليفي Paul Pierre Lévy. الفكرة الأساسية هي أن $\ell (t,x)$ هي مقياس (متغير) للمدة التي أستهلكتها $b(s)$ عند $x$ اعتماداً على الزمن $t$. يمكن أن تُكتب بهذه الصيغة

$\ell (t,x)=\underset{ϵ\downarrow 0}{lim}\frac{1}{2ϵ}\underset{0}{\overset{t}{\int }}1\{x-ϵ<b(s)<x+ϵ\}ds,$

التي تشرح لماذا تسمى بالزمن المحلي للقيمة $b$ عند $x$.

انظر أيضًا

• حركة براونية,

المراجع

• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8 .