جدول معاملات كلبسش-غوردان

الصيغة

الصيغة:Formulation

معاملات كلبسش-غوردان هي حلول ل:

$|(j_1{j}_2)jm⟩=\sum _{m_1=-j_1}^{j_1}\sum _{m_2=-j_2}^{j_2}|j_1{m}_1{j}_2{m}_2⟩⟨j_1{j}_2;m_1{m}_2|j_1{j}_2;jm⟩$

بشكل مباشر (صريح) إلى:

$\begin{array}{rr}⟨j_1{j}_2;m_1{m}_2|j_1{j}_2;jm⟩=& {\delta }_{m,m_1+m_2}\sqrt{\frac{(2j+1)(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!(j_1+j_2-j)!}{(j_1+j_2+j+1)!}}\times \\ & \sqrt{(j+m)!(j-m)!(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!}\times \\ & {\sum }_k\frac{(-1{)}^k}{k!(j_1+j_2-j-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j-j_2+m_1+k)!(j-j_1-m_2+k)!}.\end{array}$

The summation is extended over all integer k for which the argument of every factorial is nonnegative.

For brevity, solutions with m < 0 and j₁ < j₂ are omitted. They may be calculated using the simple relations

$⟨j_1{j}_2;m_1{m}_2|j_1{j}_2;jm⟩=(-1{)}^{j-j_1-j_2}⟨j_1{j}_2;-m_1,-m_2|j_1{j}_2;j,-m⟩$ .

و

$⟨j_1{j}_2;m_1{m}_2|j_1{j}_2;jm⟩=(-1{)}^{j-j_1-j_2}⟨j_2{j}_1;m_2{m}_1|j_2{j}_1;jm⟩$ .

القائمة الكاملة

 j₂=0

عندما تكون j₂=0، فإن معاملات كلبسش-غوردان تعطي ${\delta }_{j,j_1}{\delta }_{m,m_1}$ .

 j₁=1/2, j₂=1/2

m=1	j
m1, m2	1 1/2, 1/2 $1$

m=0	j
m1, m2	1 0 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

 j₁=1, j₂=1/2

m=3/2	j
m1, m2	3/2 1, 1/2 $1$

m=1/2	j
m1, m2	3/2 1/2 1, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 0, 1/2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$

 j₁=1, j₂=1

m=2	j
m1, m2	2 1, 1 $1$

m=1	j
m1, m2	2 1 1, 0 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 0, 1 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

m=0	j
m1, m2	2 1 0 1, -1 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 0, 0 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ -1, 1 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$

 j₁=3/2, j₂=1/2

m=2	j
m1, m2	2 3/2, 1/2 $1$

m=1	j
m1, m2	2 1 3/2, -1/2 $\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ $-\frac{1}{2}$

m=0	j
m1, m2	2 1 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

 j₁=3/2, j₂=1

m=5/2	j
m1, m2	5/2 3/2, 1 $1$

m=3/2	j
m1, m2	5/2 3/2 3/2, 0 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 1/2, 1 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$

m=1/2	j
m1, m2	5/2 3/2 1/2 3/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{10}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 1/2, 0 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{15}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$ -1/2, 1 $\sqrt{\frac{3}{10}}$ $-\sqrt{\frac{8}{15}}$ $\sqrt{\frac{1}{6}}$

 j₁=3/2, j₂=3/2

m=3	j
m1, m2	3 3/2, 3/2 $1$

m=2	j
m1, m2	3 2 3/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

m=1	j
m1, m2	3 2 1 3/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ -1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$

m=0	j
m1, m2	3 2 1 0 3/2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{20}}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $\frac{1}{2}$ 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $\frac{1}{2}$ $-\sqrt{\frac{1}{20}}$ $-\frac{1}{2}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $-\frac{1}{2}$ $-\sqrt{\frac{1}{20}}$ $\frac{1}{2}$ -3/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{20}}$ $-\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{9}{20}}$ $-\frac{1}{2}$

 j₁=2, j₂=1/2

m=5/2	j
m1, m2	5/2 2, 1/2 $1$

m=3/2	j
m1, m2	5/2 3/2 2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{4}{5}}$ 1, 1/2 $\sqrt{\frac{4}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$

m=1/2	j
m1, m2	5/2 3/2 1, -1/2 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 0, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$

 j₁=2, j₂=1

m=3	j
m1, m2	3 2, 1 $1$

m=2	j
m1, m2	3 2 2, 0 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 1, 1 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$

m=1	j
m1, m2	3 2 1 2, -1 $\sqrt{\frac{1}{15}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 1, 0 $\sqrt{\frac{8}{15}}$ $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 1 $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{10}}$

m=0	j
m1, m2	3 2 1 1, -1 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 0 $\sqrt{\frac{3}{5}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ -1, 1 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$

 j₁=2, j₂=3/2

m=7/2	j
m1, m2	7/2 2, 3/2 $1$

m=5/2	j
m1, m2	7/2 5/2 2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{4}{7}}$ 1, 3/2 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $-\sqrt{\frac{3}{7}}$

m=3/2	j
m1, m2	7/2 5/2 3/2 2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{7}}$ $\sqrt{\frac{16}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 1, 1/2 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ 0, 3/2 $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{18}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$

m=1/2	j
m1, m2	7/2 5/2 3/2 1/2 2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{35}}$ $\sqrt{\frac{6}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 1, -1/2 $\sqrt{\frac{12}{35}}$ $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 1/2 $\sqrt{\frac{18}{35}}$ $-\sqrt{\frac{3}{35}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ -1, 3/2 $\sqrt{\frac{4}{35}}$ $-\sqrt{\frac{27}{70}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{10}}$

 j₁=2, j₂=2

m=4	j
m1, m2	4 2, 2 $1$

m=3	j
m1, m2	4 3 2, 1 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 1, 2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

m=2	j
m1, m2	4 3 2 2, 0 $\sqrt{\frac{3}{14}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ 1, 1 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{3}{7}}$ 0, 2 $\sqrt{\frac{3}{14}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$

m=1	j
m1, m2	4 3 2 1 2, -1 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 1, 0 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 0, 1 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ -1, 2 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$

m=0

j

m1, m2

4 3 2 1 0 2, -2 $\sqrt{\frac{1}{70}}$ $\sqrt{\frac{1}{10}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 1, -1 $\sqrt{\frac{8}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{1}{10}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ 0, 0 $\sqrt{\frac{18}{35}}$ $0$ $-\sqrt{\frac{2}{7}}$ $0$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ -1, 1 $\sqrt{\frac{8}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{1}{10}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ -2, 2 $\sqrt{\frac{1}{70}}$ $-\sqrt{\frac{1}{10}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$

 j₁=5/2, j₂=1/2

m=3	j
m1, m2	3 5/2, 1/2 $1$

m=2	j
m1, m2	3 2 5/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $\sqrt{\frac{5}{6}}$ 3/2, 1/2 $\sqrt{\frac{5}{6}}$ $-\sqrt{\frac{1}{6}}$

m=1	j
m1, m2	3 2 3/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ $-\sqrt{\frac{1}{3}}$

m=0	j
m1, m2	3 2 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$

 j₁=5/2, j₂=1

m=7/2	j
m1, m2	7/2 5/2, 1 $1$

m=5/2	j
m1, m2	7/2 5/2 5/2, 0 $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $\sqrt{\frac{5}{7}}$ 3/2, 1 $\sqrt{\frac{5}{7}}$ $-\sqrt{\frac{2}{7}}$

m=3/2	j
m1, m2	7/2 5/2 3/2 5/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{21}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 3/2, 0 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $\sqrt{\frac{9}{35}}$ $-\sqrt{\frac{4}{15}}$ 1/2, 1 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $-\sqrt{\frac{16}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{15}}$

m=1/2	j
m1, m2	7/2 5/2 3/2 3/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{7}}$ $\sqrt{\frac{16}{35}}$ $\sqrt{\frac{2}{5}}$ 1/2, 0 $\sqrt{\frac{4}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{5}}$ -1/2, 1 $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{18}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$

 j₁=5/2, j₂=3/2

m=4	j
m1, m2	4 5/2, 3/2 $1$

m=3	j
m1, m2	4 3 5/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{8}}$ $\sqrt{\frac{5}{8}}$ 3/2, 3/2 $\sqrt{\frac{5}{8}}$ $-\sqrt{\frac{3}{8}}$

m=2	j
m1, m2	4 3 2 5/2, -1/2 $\sqrt{\frac{3}{28}}$ $\sqrt{\frac{5}{12}}$ $\sqrt{\frac{10}{21}}$ 3/2, 1/2 $\sqrt{\frac{15}{28}}$ $\sqrt{\frac{1}{12}}$ $-\sqrt{\frac{8}{21}}$ 1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $-\sqrt{\frac{1}{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{7}}$

m=1

j

m1, m2

4 3 2 1 5/2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{56}}$ $\sqrt{\frac{1}{8}}$ $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 3/2, -1/2 $\sqrt{\frac{15}{56}}$ $\sqrt{\frac{49}{120}}$ $\sqrt{\frac{1}{42}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ 1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{15}{28}}$ $-\sqrt{\frac{1}{60}}$ $-\sqrt{\frac{25}{84}}$ $\sqrt{\frac{3}{20}}$ -1/2, 3/2 $\sqrt{\frac{5}{28}}$ $-\sqrt{\frac{9}{20}}$ $\sqrt{\frac{9}{28}}$ $-\sqrt{\frac{1}{20}}$

m=0	j
m1, m2	4 3 2 1 3/2, -3/2 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 1/2, -1/2 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ -1/2, 1/2 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$ $-\sqrt{\frac{1}{14}}$ $\sqrt{\frac{3}{10}}$ -3/2, 3/2 $\sqrt{\frac{1}{14}}$ $-\sqrt{\frac{3}{10}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{5}}$

 j₁=5/2, j₂=2

m=9/2	j
m1, m2	9/2 5/2, 2 $1$

m=7/2	j
m1, m2	9/2 7/2 5/2, 1 $\frac{2}{3}$ $\sqrt{\frac{5}{9}}$ 3/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{9}}$ $-\frac{2}{3}$

m=5/2	j
m1, m2	9/2 7/2 5/2 5/2, 0 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $\sqrt{\frac{5}{14}}$ 3/2, 1 $\sqrt{\frac{5}{9}}$ $\sqrt{\frac{1}{63}}$ $-\sqrt{\frac{3}{7}}$ 1/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{18}}$ $-\sqrt{\frac{32}{63}}$ $\sqrt{\frac{3}{14}}$

m=3/2

j

m1, m2

9/2 7/2 5/2 3/2 5/2, -1 $\sqrt{\frac{1}{21}}$ $\sqrt{\frac{5}{21}}$ $\sqrt{\frac{3}{7}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ 3/2, 0 $\sqrt{\frac{5}{14}}$ $\sqrt{\frac{2}{7}}$ $-\sqrt{\frac{1}{70}}$ $-\sqrt{\frac{12}{35}}$ 1/2, 1 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $-\sqrt{\frac{2}{21}}$ $-\sqrt{\frac{6}{35}}$ $\sqrt{\frac{9}{35}}$ -1/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{42}}$ $-\sqrt{\frac{8}{21}}$ $\sqrt{\frac{27}{70}}$ $-\sqrt{\frac{4}{35}}$

m=1/2

j

m1, m2

9/2 7/2 5/2 3/2 1/2 5/2, -2 $\sqrt{\frac{1}{126}}$ $\sqrt{\frac{4}{63}}$ $\sqrt{\frac{3}{14}}$ $\sqrt{\frac{8}{21}}$ $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 3/2, -1 $\sqrt{\frac{10}{63}}$ $\sqrt{\frac{121}{315}}$ $\sqrt{\frac{6}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{105}}$ $-\sqrt{\frac{4}{15}}$ 1/2, 0 $\sqrt{\frac{10}{21}}$ $\sqrt{\frac{4}{105}}$ $-\sqrt{\frac{8}{35}}$ $-\sqrt{\frac{2}{35}}$ $\sqrt{\frac{1}{5}}$ -1/2, 1 $\sqrt{\frac{20}{63}}$ $-\sqrt{\frac{14}{45}}$ $0$ $\sqrt{\frac{5}{21}}$ $-\sqrt{\frac{2}{15}}$ -3/2, 2 $\sqrt{\frac{5}{126}}$ $-\sqrt{\frac{64}{315}}$ $\sqrt{\frac{27}{70}}$ $-\sqrt{\frac{32}{105}}$ $\sqrt{\frac{1}{15}}$

وصلات خارجية

• Online, جاوة-based Clebsch-Gordan Coefficient Calculator by Paul Stevenson
• Other formulae for Clebsch–Gordan coefficients.
• Web interface for tabulating SU(N) Clebsch-Gordan coefficients

طالع أيضا

• نظام عد
• جدول القواسم
• جدول التفكيك إلى عوامل أولية