ثماني سطوح

منتظم ثماني الأوجه
ملف:Octahedron.jpg (اضغط هنا لتدوير المُجسَم)
النوع	مجسم أفلاطوني
مميزة أويلر	F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2)
الوجوه من الجوانب	8{3}
ترميز كونواي	O aT
رمز شليفلي	{3,4}
	r{3,3} or $\left\{\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right\}$
تكوين الوجه	V4.4.4
رمز ويتهوف	4 | 2 3
مخطط كوكستير-دينكين	ملف:CDel node.pngملف:CDel node.pngملف:CDel 3.pngملف:CDel node 1.png
التماثل	Oh, BC3, [4,3], (*432)
مجموعة التناوب	O, [4,3]+, (432)
المراجع	U05, سكوت ماكدونالد كوكستر17, W2
الخصائص	منتظم، محدب
زاوية زوجية	109.47122° = arccos(−1/3)
ملف:Octahedron vertfig.svg 3.3.3.3 (شكل رأسي ‏)	مكعب (متعدد الأوجه المزدوج)
ملف:Octahedron flat.svg شبكة (متعدد أوجه)

في الهندسة الرياضية، المُجسَم الثُماني أو ثماني الأوجه أو ثماني السطوح (بالإنجليزية: Octahedron)‏، جسم ثلاثي الأبعاد مُتعدد الأسطح له ثمانية أوجه، واثنا عشر ضلع، وستة رؤوس. يُسمى نظامياً عندما تكون أوجهه مثلثات متساوية الأضلاع. ويُعتبر كهرمين رباعي الأوجه مُزدوجين. يمثل الهيكل الهندسي التركيبي لعدد من الأجسام بالطبيعة.

منتظم ثماني الأوجه

الأبعاد

إذا كان طول ضلع ثماني الأوجه هو a، فإن نصف قطر المجال المقيد (الذي يلمس الثماني الأفقي في جميع القمم) هو:

$r_u=\frac{a}{2}\sqrt{2}\approx 0.707\cdot a$

ونصف قطر المجال المدرج (المماس لكل من الوجوه الثماني) هو:

$r_i=\frac{a}{6}\sqrt{6}\approx 0.408\cdot a$

في حين أن منتصف القطر الذي يمس وسط كل ضلع، هو:

$r_m=\frac{a}{2}=0.5\cdot a$

الإسقاطات المتعامدة

الإسقاطات المتعامدة

التمركز	الضلع	الوجه الطبيعي	قمة الرأس	الوجه
الصورة	ملف:Cube t2 e.png	ملف:Cube t2 fb.png	ملف:3-cube t2 B2.svg	ملف:3-cube t2.svg
التماثل الإسقاطي	[2]	[2]	[4]	[6]

التبليط الكروي

يُمكن أن يتم تمثيل ثماني الأوجه على شكل تبليط كروي، بحيث يكون إسقاط السطح عبر إسقاط المجسم. هذا الاسقاط يُحافظ على الزوايا ولكن ليس الأطوال والمراكز. وتكون خطوط مستقيمة على المجال كأقواس دائرية على متن السطح.

ملف:Uniform tiling 432-t2.png	ملف:Octahedron stereographic projection.svg
إسقاط عمودي	إسقاط متواز

المساحة والحجم

مساحة السطح A والحجم V لثماني الأوجه والضلع هو a. ويكون الحساب كالتالي:

$A=2\sqrt{3}{a}^2\approx 3.464a^2$

$V=\frac{1}{3}\sqrt{2}{a}^3\approx 0.471a^3$

وبالتالي فإن حجم أربع مرات من رباعي سطوح يساوي طول الضلع، في حين يساوي مساحة السطح مرتين (لأن لدينا 8 بدلاً من 4 مثلثات).

ثماني الأوجه في العالم المادي

ثماني الأوجه في الطبيعة

ملف:Fluorite octahedron.jpg

بلورات الفلوريت.

• بلورات الفلوريت والألماس والشب عادةً ما تكون ثماني الأوجه.
• يتم ترتيب لوحات من سبائك كاماسيت في النيازك موازية لثماني الأوجه.
• العديد من أيونات المعادن يكون تكوينها وتنسيقها ثماني الأوجه.

ثماني الأوجه في الفن والثقافة

• لعبة ثعبان روبيك تشكل أحدها ثماني الأوجه.
• فيلم ترون (1982) أخذ أحد الشخصيات (Bit) شكل ثماني الأوجه.